在忽略了空气流动阻力,以及各种摩擦之后,可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统,如下图所示,其中:
M:小车质量
m:为摆杆质量
J:为摆杆惯量
F:加在小车上的力
x:小车位置
θ:摆杆与垂直向上方向的夹角
l :摆杆转动轴心到杆质心的长度
根据牛顿运动定律以及刚体运动规律,可知:
得
(3)小车水平方向上的运动为
联列上述4个方程,可以得出
一阶倒立精确气模型:
式中J为摆杆的转动惯量:
若只考虑θ在其工作点附近θ0=0附近()的细微变化,则可以近似认为:
若取小车质量M=2kg,摆杆质量m=1kg,摆杆长度2l =1m,重力加速度取g=,则可以得
一阶倒立摆简化模型:
拉氏变换
即 G1(s)= ; G2(s)=
一阶倒立摆环节问题解决!
选用日本松下电工MSMA021型小惯量交流伺服电动机,其有关参数如下:
驱动电压:U=0~100V 额定功率:PN=200W
额定转速:n=3000r/min 转动惯量:J=3×10-6kg.m2
额定转矩:TN=0.64Nm 最大转矩:TM=1.91Nm
电磁时间常数:Tl=0.001s 电机时间常数:TM=0.003s
经传动机构变速后输出的拖动力为:F=0~16N;与其配套的驱动器为:MSDA021A1A,控制电压:UDA=0~±10V。
若忽略电动机的空载转矩和系统摩擦,就可以认为驱动器和机械传动装置均为纯比例环节,并假设这两个环节的增益分别为Kd和Km。
即D3(s)=1.6
电动机驱动器部分问题解决!
3.双闭环PID控制器设计
剩下的问题就是如何确定控制器的结构和参数。
(一)内环控制器的设计
其中,Ks=1.6为伺服电动机与减速机构的等效模型
1.控制器的选择
对于内环反馈控制器D2(s)可有PD,PI,PID三种可能的结构形式,怎么选取呢?这里,不妨采用绘制各种控制器结构下“系统根轨迹”的办法加以分析比较,从之选出一种比较适合的控制器结构。
各种控制器的开环传函的传递函数分别为:
从根轨迹不难发现,采用PD结构的反馈控制器,结构简单且可保证闭环系统的稳定。所以,选定反馈控制器的结构为PD形式的控制器。
2.控制器参数的选定
首先暂定K=-20。这样可以求出内环的传递函数为:
注释:工程上常用阻尼比=0.707作为二阶系统最优解!
3.系统内环的simulink仿真及结果
仿真结果为:
(二)外环控制器的设计
可见,系统开环传递函数可视为一个高阶(4阶)且带有不稳定零点的“非最小相位系统”,为了便于设计,需要首先对系统进行一些简化处理(否则,不便利用经典控制理论与方法对它进行设计)。
1.系统外环模型的降阶
(1)对内环等效闭环传递函数的近似处理
将高次项忽略,有
近似条件可由频率特性导出,即
由(2)得:
由(3)得:
由(4)得:
,所以,有
近似条件为:
2.控制器设计
设加入的调节器为 ,同时,为使系统有较好的跟随性能,采用单位反馈
来构成外环反馈通道,如图所示:
取
再由“典型Ⅱ型”系统Bode图特性( )知:
3.用simulink对小车的位置在阶跃信号输入下的响应进行仿真:
系统框图为
仿真结果:
倒立摆位置在阶跃信号下的响应
3.系统的simulink仿真
连接图如下:
仿真结果为:
倒立摆在阶跃信号下摆杆和小车位置的响应
为了进一步验证在不同摆杆下的,该一阶倒立摆控制系统是否还具有鲁棒特性,分别取摆杆不同的质量和摆长,进行simulink仿真!
由图可知,建立的一阶倒立摆模型在不同摆长下能实现要求。但摆长不能过长!同理,建立的一阶倒立摆模型在不同质量的摆杆下能也实现要求,但同样不能过重!
五、课程设计心得
1、通过实验了解了一阶倒立摆是的非线性、不确定性、不稳定系统和约束限制,同时倒立摆也是经常作为研究比较不同控制方法的典型例子。
2、对一阶倒立摆控制系统的研究使我了解到倒立摆还有二阶倒立摆、三阶倒立摆,甚至四阶倒立摆,同时还涉及到起摆的问题!增加了了倒立摆研究的兴趣!
3、建立的一阶倒立摆控制系统忽略了许多因素,应用一些简化处理,即建立的只是一阶倒立摆控制系统的简化模型。当摆杆的质量和摆长超过一定范围,系统失效,所以该系统有待改进!
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