这个先用一句话囊括一下：不同的坐标值对应空间同一个位置，多个坐标值对应同一个位置的不一致性是造成死锁的根源。
然后就举个例子：
假如我们有一个望远镜和一个用来放望远镜的三脚架，（我们将）三脚架放在地面上，使支撑望远镜的三脚架的顶部是平行于地平面（参考平面）的，以便使得竖向的旋转轴（记为 x 轴）是完全地垂直于地平面的。现在，我们就可以将望远镜饶 x 轴旋转 360 度，从而观察（以望远镜为中心的）水平包围圈的所有方向。通常将正北朝向方位角度记为 0 度方位角。第二个坐标轴，即平行于地平面的横向的坐标轴（记为 y 轴）使得望远镜可以饶着它上下旋转，通常将地平面朝向的仰角记为 0 度，这样，望远镜可以向上仰+90 度指向天顶，或者向下-90 度指向脚底。好了，万事俱备。现在，天空中（包括地面上）的每个点只需要唯一的一对 x 和 y 度数就可以确定。比如 x=90 度,y=45 度指向的点是位于正东方向的半天空上。
现在，看看万向节死锁是怎么发生的。一次，我们探测到有一个飞行器贴地飞行，位于望远镜的正东方向（x=90 度，y=10 度），朝着我们直飞过来，我们跟踪它。飞行器飞行方向是保持 x 轴角度 90 度不变，而 y 向的角度在慢慢增大。随着飞行器的临近，y 轴角增长的越来越快且当 y 向的角度达到 90 度时（即将超越），突然它急转弯朝南飞去。这时，我们发现我们不能将望远镜朝向南方，因为此时 y 向已经是 90 度，造成我们失去跟踪目标。这就是万向节死锁！
为什么说不能将望远镜朝向南方呢，让我们看看坐标变化，从开始的（x=90 度，y=10度）到（x=90 度，y=90 度），这个过程没有问题，望远镜慢慢转动跟踪飞行器。当飞行器到达（x=90 度，y=90 度）后，坐标突然变成（x=180 度，y=90 度）（因为朝南），x 由 90突变成 180 度,所以望远镜需要饶垂直轴向 x 轴旋转 180-90=90 度以便追上飞行器,但此时，望远镜已经是平行于 x 轴，我们知道饶平行于自身的中轴线的的旋转改变不了朝向，就象拧螺丝一样，螺丝头的指向不变。所以望远镜的指向还是天顶。而后由于飞行器飞远，坐标变成（x=180 度，y<90 度）时，y 向角减小，望远镜只能又转回到正东指向，望’器’兴叹。这说明用 x,y 旋转角（又称欧拉角）来定向物体有时并不能按照你想像的那样工作，象上面的例子中从（x=90 度，y=10 度）到（x=90 度，y=90 度），按照欧拉角旋转确实可以正确地定向，但从（x=90 度，y=90 度）到（x=180 度，y=90 度），再到（x=180 度，y<90 度）,按照欧拉角旋转后的定向并非正确。我的理解是坐标值的变化和飞行器空间的位置变化一一对应，但是从（x=90 度，y=90 度）到（x=180 度，y=90 度），再到（x=180 度，y<90度）这个变化，飞行器位置是连续的变化，但坐标值的变化却不是连续的（从 90 突变到180），其原因在于（x=90 度，y=90 度）和（x=180 度，y=90 度）甚至和（x=任意度，y=90 度）这些不同的坐标值对应空间同一个位置。。。
同样对于2维或者3维都是一样的（例子是抄的、、、）
刚刚说过可以用方向余弦表示矢量在坐标轴的位置，也就是说可以得出载体坐标轴xyz分别与参考坐标轴XYZ的方向余弦。形成余弦矩阵
第i行、第j列的元素表示参考坐标系i轴和载体坐标系j轴夹角的余弦。
回过头来再比较一下欧拉角和方向余弦其实没有什么区别，就是用方向余弦表示欧拉角。这两个的坐标变换在《惯性导航》里面都有相应的推导。（此处略）
三个坐标轴的变换用矩阵表示就是这样
此处再说明一下矩阵的意义。
C 表示坐标系1到坐标系2的变换矩阵
在线性代数中两复杂矩阵的变化可通过有限的矩阵相乘的运算获得，当然在坐标系中同样也适用。两坐标系任何复杂的角位置关系都可以看做有限次基本旋转的组合
