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标题: 几个概率论小问题 [打印本页]

作者: 51hei小名 时间: 2016-6-20 21:56
标题: 几个概率论小问题
（本文属于简单科普，各位专家请绕道。。）

下面几个简单的小问题让你确认一下你对概率论的理解。
不要想当然！要不然你会被你自己吓到。

1.戴夫有两个孩子，有一个是男孩，另一个是女孩的概率是多少？

      很多人肯定会认为这个概率是1/2，但这种想法并不正确。记男孩为b，女孩记为g，你的概率空间Ω={gg,gb,bg,bb}，所求概率是条件概率，即在{gb,bg,bb}中的有g的概率，正确答案是2/3。

2.鲍勃有两个孩子，有一个是在晚上出生的男孩，另一个是男孩的概率是多少？（假设鲍勃家在赤道上，白天夜晚均等。）

      根据上一题的经验，很多人肯定会以为答案是1/3，白天出生和晚上出生能有什么鬼差别？事实上并非如此，正确答案是3/7.

3.柯西有两个孩子，有一个是在星期二出生的女孩，另一个也是女孩的概率是多少？

      正确答案是13/27，不解释。

4.有这样一个游戏：投一个硬币，如果不是正面就一直投下去。记直到正面投的次数为X，你将获得2的X次方元的钱。
      (1).从概率论的角度，平均每一玩次你能获得多少钱？如果该游戏定价100000元玩一次，你愿意玩吗？为什么？
      (3).如果让你来给该游戏定个数学上公平合理的价格(按数学期望计算)，你将定价多少？

      连续投X次的概率应为2^(-X)，此时获得2^X元，获得的钱的期望值就是 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... = 无穷大。从期望值的角度，你应该玩这个游戏，但是你肯定不会愿意去玩的，因为其实得不到多少钱。

      同理，如果要定一个公平的价格，那么价格应定为期望值，也就是无穷大。但是每次你只能获得有限的钱，为什么要花无穷多的钱去玩这个游戏呢？（这叫圣彼得堡悖论）

5.经典的三门问题：主持人身后有三个门，其中有一个门里面是高级汽车，另外的门里面都是山羊。主持人会让你先选一扇门，然后他会为你揭晓一扇山羊的门（你之前所选的那扇门不会被打开）。请问这个时候，你要不要换选另外一扇没有打开的门？还是保留原来的选择？

      多数人可能会认为换不换都一样，有些人还坚持不换更好。
      正确答案应该是换一扇门，胜算更大。
      不换：你赢的概率是1/3，他开门不影响这个概率。
      换：如果你选的门后面是车(1/3 的可能性)，换就输了。但是如果你的门后面是羊(2/3)，换就一定会赢，也就是说，如果你换，你赢的概率就是2/3.

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