by 谭泽睿
【估计你肯定不希望看到那些魔鬼一般的公式，请放心，我在这里并不打算向你介绍纯数学的导数概念，我是希望，你（初三数学水平）也能看懂，甚至进行一些简单的应用，计算。相信并发现其中数学的魅力，你一定会发现数学之美的。而且通过学习微积分，你的物理学水平绝对会大进一步。（这篇文章是给初中人士看的，内容可能有所缺乏，请专业人士见谅。） 】（前言：
微积分是什么？其实它不过是一种运算。就像加减乘除是对数字的运算一样，微积分能对函数进行运算。某种意义上说，微积分干的事就是在2个函数之间互相转化。）
要入门地理解微积分，事实上只要举2对函数作为例子就够了。——路程与速度、（高度与斜率。）
——路程与速度
假设，比如说你正在从学校走回家，你是匀速的走的，那么你走过的路程的函数肯定会是一条直线，就像这样：
因为你的速度是匀速的，所以速度函数必然是水平线。假设你2s时走到了2m处，3s时走到了3m处，从2s~3s你的平均速度是多少？这个速度你肯定会算，它不过是v = s/t = (3m-2m)/(3s-2s) = 1m/1s = 1m/s。同时你也肯定知道如果你的出发点并不影响你的速度，比如说像这样，你从1m处出发，还是匀速运动：
速度肯定会一样，即速度跟你的出发点没什么关系。
匀速是很简单的情况，现在让我们考虑一下变速的情况。比如说，你一开始速度为0，然后速度不断地加快，这里假设你的速度是匀速增加的，并假设你从0m处出发：
很明显，我们可以观察到，因为你的速度在不断的增加，这就是说你走路的速度在不断地加快，那么你的路程函数就会越来越“倾斜”，增长得越来越快，因此呈一条曲线状，而不是直线。
减速的情况也很简单，如果你在开车，看到前面红灯，你知道你得刹车。。现在假设你刹车之前速度是——数字不太好选，就40吧
（这里请允许我不加单位），然后你的速度肯定在不断地减小，而且是匀速地减小，就像这样：
（这里路程S是你踩了刹车之后滑行的路程）
那么，从才刹车开始，汽车滑行的路程会是什么样子？（稍作思考，你得猜想一下，可以考虑一下速度和倾斜程度的关系。）
……
……
……
事实上，要知道，你的速度在不断地减小，所以倾斜程度肯定也在减小：
因为汽车在5s处速度为0，所以路程函数在5s这里的倾斜程度也是0，即水平。
你是否很疑惑我怎么把5s之后的也给画出来了，这看起来的确有点滑稽。。事实上你的汽车并不会刹车完后还往后倒退，这一段是我故意加上的，目的是方便你理解——假设这时速度的确是负值，汽车在往后倒退……
（如果这几个你能理解，就继续往下看。）
不知道你是否发现了路程、速度 这2个函数之间的内在联系——路程函数的斜率（倾斜程度）就是速度。
现在请允许我简单地介绍一下斜率这个概念。
斜率的概念是如此的简单，它就表示倾斜的程度。
【注：纯数学上斜率的定义是：函数某一点的斜率是函数该点的切线与x轴的夹角的正切值。】
平均斜率(slope)的计算：
（直线的斜率与其平均斜率相同）
Δy
slope = -----
Δx
slope = -----
Δx
其中Δ表示某个变量的增量。比如说，
当x增加一小段，比如增加了2，此时y
也必然增加了一小段，比如1之类的，
那么增加的这一段的平均斜率就是：
当x增加一小段，比如增加了2，此时y
也必然增加了一小段，比如1之类的，
那么增加的这一段的平均斜率就是：
Δy 1
slope = ----- = ---
Δx 2
这跟平均速度的计算 v=s/t 很像，
（事实上完全相同）
（注：对于一次函数 y = ax + b ,a就是它的斜率。
【注中注：这很明显，因为如果x增加一段，比如增加了Δx，
那么Δy = a(x+Δx)+b-ax-b =ax+aΔx
斜率slope = Δy/Δx = a】
斜率的取值与b无关，因为之前说过，
速度的取值与起点无关。）
哦，这简直像是在做代数运算，找不到微积分的影子。如果你前面的准备工作做好了，那么继续请往下看，下面我将引入微分学最核心也是最有趣的部分。。
现在的问题是，我有一个函数（或者我的路程与时间的关系）是y=x，有没有办法可以
求出我在x=1这一点的运动速度呢？（即能否做出x=1这点的切线。）
“这一点的切线？天方夜谭！”你可能会发出这样的感叹。事实上一开始，数学家们碰到这样的问题时也头疼不已。但是他们找到了一种补救方法，就是：让x=1增加Δx，求出这一段的平均斜率，用平均斜率来近似的代替这一点的斜率。增加之后的就是1+Δx，则
y的增加量为：
2
Δy = (1+Δx) - 1
所以这一段（1, 1+Δx）的平均斜率就是：
2 2
Δy (1+Δx) - 1 2Δx + (Δx)
slope= ---- = ----------- = ------------
Δx Δx Δx
（事实上完全相同）
（注：对于一次函数 y = ax + b ,a就是它的斜率。
【注中注：这很明显，因为如果x增加一段，比如增加了Δx，
那么Δy = a(x+Δx)+b-ax-b =ax+aΔx
斜率slope = Δy/Δx = a】
斜率的取值与b无关，因为之前说过，
速度的取值与起点无关。）
哦，这简直像是在做代数运算，找不到微积分的影子。如果你前面的准备工作做好了，那么继续请往下看，下面我将引入微分学最核心也是最有趣的部分。。
现在的问题是，我有一个函数（或者我的路程与时间的关系）是y=x，有没有办法可以
求出我在x=1这一点的运动速度呢？（即能否做出x=1这点的切线。）
“这一点的切线？天方夜谭！”你可能会发出这样的感叹。事实上一开始，数学家们碰到这样的问题时也头疼不已。但是他们找到了一种补救方法，就是：让x=1增加Δx，求出这一段的平均斜率，用平均斜率来近似的代替这一点的斜率。增加之后的就是1+Δx，则
y的增加量为：
2
Δy = (1+Δx) - 1
所以这一段（1, 1+Δx）的平均斜率就是：
2 2
Δy (1+Δx) - 1 2Δx + (Δx)
slope= ---- = ----------- = ------------
Δx Δx Δx
= 2 + Δx
我们知道，如果Δx越小，则得到的斜率越接近于这一点的真实斜率，而在上式中，我们发现如果让Δx趋向于0，Δx就会消失！所以最终的结果很漂亮，这一点的斜率是2！
那么，对于任一点x ，函数y=x^2的斜率能求出吗？ 当然能！这种情况不过是上面的情况的推广：
2 2 2
Δy (x+Δx) - x 2Δx + (Δx)
slope= ---- = ------------- = ---------------
Δx Δx Δx
我们知道，如果Δx越小，则得到的斜率越接近于这一点的真实斜率，而在上式中，我们发现如果让Δx趋向于0，Δx就会消失！所以最终的结果很漂亮，这一点的斜率是2！
那么，对于任一点x ，函数y=x^2的斜率能求出吗？ 当然能！这种情况不过是上面的情况的推广：
2 2 2
Δy (x+Δx) - x 2Δx + (Δx)
slope= ---- = ------------- = ---------------
Δx Δx Δx
= 2x + Δx
令Δx→0 （意思是让Δx趋向于0），上式 = 2x 。即对于任意一点x，函数y=x^2的斜率是2x 。
那么一开始的问题我们就解决了：
（问题：）
（解答：）
【解释：函数y=x^2在x点的切线的斜率是2x。
（如果你的路程函数是x^2，你的速度函数就是2x。像这样，知道路程函数，求得速度函数的过程就叫求导，这个“速度”函数就叫这个“路程”函数的导数 。
dy
函数y的导数记作 y' 或 ---- （读作“d y d x”,不读分数线。）。
dx
(即y=x^2，则y'=2x)
】
不管你信不信，你已经初步理解了微分学中的导数的概念！是不是很简单？
【注：本文介绍的求导的过程实际上是不严谨的，因为导数的严格的定义是由极限给出的，而本篇没有介绍极限，也没有给出“连续”
的含义 】
下面写出几个常见的函数的导数，这些公式、求导法则可以直接用，没必要每次都去推导一次。
常函数 的导数：
y = C y' = 0 (C为常数)
幂函数 的导数：
n n-1
y = x 则 y' = nx (n为常数)
【注：√x = x^0.5 ，根号也可以用这个求导法则，(√x)' = 1/(2√x) 】
例：y = x^2 + 2x + 3 ，求它的导数？
y'=2x + 2
例：y = 2x^100 ，求它的导数？
y'=2*100x^99 =200x^99
一般指数函数 的导数：
x x
y = a y' = a * ln a (a为常数)
指数函数 的导数：
x x
y = e y' = e
求导的加法法则：
(f + g)' = f' + g'
求导的乘法法则：
(f*g)' = f'g + f g'
求导的链式法则（重要！）
f[g(x)] ' = f'[g(x)]*g'(x)
【
解释链式法则：
链式法则是用于遇到“复合函数”的求导时才用的，至于复合函数，是指一个函数“嵌套”在另一个函数里面。比如：
_____
y=√2x+1 ，是由根号函数y=√x 和线性函数y = 2x+1 "复合"而成的。对复合函数求导时，先对“外函数”求导，再把“内函数”的导数乘在外面。
比如 _____ _____ 1
y=√2x+1 ，外函数是√2x+1 ,内函数是2x+1，外函数的导数就是 --------- ,内函数的导数是2,因此这个复合函数的导数就是
_____
2√2x+1
1 1
y' = --------- × 2 = ----------
_____ ______
2√2x+1 √2x+1
】
(以上法则有些看不懂没关系)
导数的用途
导数是微积分的重要概念和基础。不过，你是否疑惑“导数除了做切线还能干什么用”，事实上导数非常有用而且其乐无穷，用途广泛。这里仅举2个简单的例子说明（这只是导数应用的冰山一角）：
1.物理应用：在物理里，如果一个物体的运动路程与时间的函数为s，则速度函数是s的导数。即 v = s'
2.函数应用：导数可以用来作切线，可以求出函数的 极大/极小值 点。因为函数的极大/极小值点上的切线的斜率为0，所以对于一个函数y，只要求出其导数y' ，其最大最小值一定在方程y'=0的解上。
例：求函数 y = x^3 - x^2 的极值？
易得其导数 y' = 3x^2 - 2x
令y' = 0 即 解方程 3x^2-2x = 0 解得 x = 0 或 x= 2/3
根据图像可以看出x=0是极大值，x=2/3是极小值。
如果你知道“二阶导数”这一概念，你可以用二阶导数判断极大值和极小值而无需画图。。而且极值点处二阶导数不能为0，否则不是极值。当然，在不清楚二阶导数时，你可以用作图来辅助。
3.计算应用：（传说中的线性近似）导数可以用来计算近似值。
10
例：计算 0.995
选取函数 y = x^10 ，发现x=0.995这一点跟x=1这一点很接近。我们作出其导数y' = 10x^9 ，
线性近似的概念就是用这一点x=1的切线去逼近x=0.995的值。
易知，x=1时y'=10，即这一点切线斜率为10, 这一点与x=0.995的差距是(1-0.995)=0.005，我们从x=1点开始，按照这一点的切线方向后退0.005，即Δx= -0.005，那么Δy=10 * -0.005 = -0.05，也就是说，按照切线方向，x下降了0.005，y也下降了0.05。
所以计算出的近似值就是 1 - 0.05 = 0.95
10
即 0.995 ≈ 0.95
如果你用计算器来检验，你会发现计算器的结果是 0.9511101305，和我们计算的结果非常接近。这就是微分（导数）在近似计算中的应用。
*例2：计算√2 的近似值 1
选取函数y = √x , y' = ------
2√x
我们知道，1.4^2=1.96，（即√1.96 = 1.4）。 1.96跟2很接近，所以我们就用x=1.96这一点的切线来近似x=2的值。
y'在1.96的取值y'(1.96) = 1/(2*1.4) ≈ 0.357，这是x=1.96这一点的切线。
现在让x增加0.04，则y就会增加0.04*0.357 = 0.01428
所以√2 ≈ 1.4+0.1428 = 1.41428
如果你用计算器来检验，你会发现这样做精确度还是很不错的：√2 = 1.414213562 ，精确到了小数点后4位。
4.工程应用：导数可以解方程（详细过程略，参见“牛顿法解方程”）
5.经济学应用：经济学中，导数称为“边际函数”，是一个重要而基础的概念。
……
……等等等等……
有趣的问题，这也是微积分的实用之处：
R博士的家在A点。每天，R博士都要开着小汽车去他的公司C上班。他以前一直都是这样走的：先从家垂直的开到B点，然后进入公路，再开到C点。其中AB=30km,CB=60km,R博士的汽车在公路CB上速度可以达到60km/h，但是在非公路地段只有30km/h。有一天R博士突发奇想，发现如果以某个角度开到某个P点进入公路，他所用的时间将大大缩短。不过现在R博士搞不清BP取多少时，他用的时间会最短。你能帮他确定这个BP的长度吗？
令Δx→0 （意思是让Δx趋向于0），上式 = 2x 。即对于任意一点x，函数y=x^2的斜率是2x 。
那么一开始的问题我们就解决了：
（问题：）
（解答：）
【解释：函数y=x^2在x点的切线的斜率是2x。
（如果你的路程函数是x^2，你的速度函数就是2x。像这样，知道路程函数，求得速度函数的过程就叫求导，这个“速度”函数就叫这个“路程”函数的导数 。
dy
函数y的导数记作 y' 或 ---- （读作“d y d x”,不读分数线。）。
dx
(即y=x^2，则y'=2x)
】
不管你信不信，你已经初步理解了微分学中的导数的概念！是不是很简单？
【注：本文介绍的求导的过程实际上是不严谨的，因为导数的严格的定义是由极限给出的，而本篇没有介绍极限，也没有给出“连续”
的含义 】
下面写出几个常见的函数的导数，这些公式、求导法则可以直接用，没必要每次都去推导一次。
常函数 的导数：
y = C y' = 0 (C为常数)
幂函数 的导数：
n n-1
y = x 则 y' = nx (n为常数)
【注：√x = x^0.5 ，根号也可以用这个求导法则，(√x)' = 1/(2√x) 】
例：y = x^2 + 2x + 3 ，求它的导数？
y'=2x + 2
例：y = 2x^100 ，求它的导数？
y'=2*100x^99 =200x^99
一般指数函数 的导数：
x x
y = a y' = a * ln a (a为常数)
指数函数 的导数：
x x
y = e y' = e
求导的加法法则：
(f + g)' = f' + g'
求导的乘法法则：
(f*g)' = f'g + f g'
求导的链式法则（重要！）
f[g(x)] ' = f'[g(x)]*g'(x)
【
解释链式法则：
链式法则是用于遇到“复合函数”的求导时才用的，至于复合函数，是指一个函数“嵌套”在另一个函数里面。比如：
_____
y=√2x+1 ，是由根号函数y=√x 和线性函数y = 2x+1 "复合"而成的。对复合函数求导时，先对“外函数”求导，再把“内函数”的导数乘在外面。
比如 _____ _____ 1
y=√2x+1 ，外函数是√2x+1 ,内函数是2x+1，外函数的导数就是 --------- ,内函数的导数是2,因此这个复合函数的导数就是
_____
2√2x+1
1 1
y' = --------- × 2 = ----------
_____ ______
2√2x+1 √2x+1
】
(以上法则有些看不懂没关系)
导数的用途
导数是微积分的重要概念和基础。不过，你是否疑惑“导数除了做切线还能干什么用”，事实上导数非常有用而且其乐无穷，用途广泛。这里仅举2个简单的例子说明（这只是导数应用的冰山一角）：
1.物理应用：在物理里，如果一个物体的运动路程与时间的函数为s，则速度函数是s的导数。即 v = s'
2.函数应用：导数可以用来作切线，可以求出函数的 极大/极小值 点。因为函数的极大/极小值点上的切线的斜率为0，所以对于一个函数y，只要求出其导数y' ，其最大最小值一定在方程y'=0的解上。
例：求函数 y = x^3 - x^2 的极值？
易得其导数 y' = 3x^2 - 2x
令y' = 0 即 解方程 3x^2-2x = 0 解得 x = 0 或 x= 2/3
根据图像可以看出x=0是极大值，x=2/3是极小值。
如果你知道“二阶导数”这一概念，你可以用二阶导数判断极大值和极小值而无需画图。。而且极值点处二阶导数不能为0，否则不是极值。当然，在不清楚二阶导数时，你可以用作图来辅助。
3.计算应用：（传说中的线性近似）导数可以用来计算近似值。
10
例：计算 0.995
选取函数 y = x^10 ，发现x=0.995这一点跟x=1这一点很接近。我们作出其导数y' = 10x^9 ，
线性近似的概念就是用这一点x=1的切线去逼近x=0.995的值。
易知，x=1时y'=10，即这一点切线斜率为10, 这一点与x=0.995的差距是(1-0.995)=0.005，我们从x=1点开始，按照这一点的切线方向后退0.005，即Δx= -0.005，那么Δy=10 * -0.005 = -0.05，也就是说，按照切线方向，x下降了0.005，y也下降了0.05。
所以计算出的近似值就是 1 - 0.05 = 0.95
10
即 0.995 ≈ 0.95
如果你用计算器来检验，你会发现计算器的结果是 0.9511101305，和我们计算的结果非常接近。这就是微分（导数）在近似计算中的应用。
*例2：计算√2 的近似值 1
选取函数y = √x , y' = ------
2√x
我们知道，1.4^2=1.96，（即√1.96 = 1.4）。 1.96跟2很接近，所以我们就用x=1.96这一点的切线来近似x=2的值。
y'在1.96的取值y'(1.96) = 1/(2*1.4) ≈ 0.357，这是x=1.96这一点的切线。
现在让x增加0.04，则y就会增加0.04*0.357 = 0.01428
所以√2 ≈ 1.4+0.1428 = 1.41428
如果你用计算器来检验，你会发现这样做精确度还是很不错的：√2 = 1.414213562 ，精确到了小数点后4位。
4.工程应用：导数可以解方程（详细过程略，参见“牛顿法解方程”）
5.经济学应用：经济学中，导数称为“边际函数”，是一个重要而基础的概念。
……
……等等等等……
有趣的问题，这也是微积分的实用之处：
R博士的家在A点。每天，R博士都要开着小汽车去他的公司C上班。他以前一直都是这样走的：先从家垂直的开到B点，然后进入公路，再开到C点。其中AB=30km,CB=60km,R博士的汽车在公路CB上速度可以达到60km/h，但是在非公路地段只有30km/h。有一天R博士突发奇想，发现如果以某个角度开到某个P点进入公路，他所用的时间将大大缩短。不过现在R博士搞不清BP取多少时，他用的时间会最短。你能帮他确定这个BP的长度吗？
如果设PB = x km，CP = 60-x
由勾股定理可得，AP= _________
√900 + x2
汽车在AP这段速度是30km/h，在CP这段速度是60km/h，所以可得R博士所需时间T与BP(x)的取值的函数关系：
汽车在AP这段速度是30km/h，在CP这段速度是60km/h，所以可得R博士所需时间T与BP(x)的取值的函数关系：
__________
√900 + x^2 60 - x
T = ------------ + --------
30 60
这不过是在求一个函数的极值。首先对它求导：
(注：这个2x↓是因为链式法则。内函数900 + x^2 的导数是2x，对复合函数求导时要乘在外面。现在不懂也没有太大的关系)
2x 1
T' = ----------------- - ------
________ 60
30 * 2√900+x^2
令T' = 0，解方程：
2x 1
----------------- = ------
________ 60
30 * 2√900+x^2
约分：
x 1
----------------- = ------
________ 60
30 * √900+x^2
交叉相乘得 ：
________
30√900+x^2 = 60x
两边约去30：
________
√900+x^2 = 2x
两边同平方：
900+x^2 = 4x^2
移项：
3x^2 = 900
约分：
x^2 = 300
直接开方法（舍去负根）：
____ ______ __
x = √300 = √100*3 = 10√3 ≈ 17.32 km
所以，BP应取17.32 km。R博士应从这个P点进入公路。
【注：严格的数学中的导数被定义如下：
函数y=f(x)的导数dy/dx为：
dy Δy f(x+Δx) - f(x)
---- = lim ------ = lim ----------------
dx Δx→0 Δx Δx→0 Δx
在数学中，导数被定义为一个分式Δy/Δx 的极限。 因此导数又称为“微商”。
】
瞧，微积分在生活中也可以有应用，这也是微积分的实用之处。数学是有趣而美妙的。你是否这样觉得呢？
（：……这篇文章我是希望尽量写的通俗易懂，但由于本人水平十分有限，不免有许多错误及不足之处，或者你仍然看不懂这篇文章，还请各位见谅。。）
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