二阶常系统非齐次线性方程的特解系数确定

ID:104126 · 发表于 2016-1-24 02:23

ay''+by'+cy=q(x)；
该方程的特征方程：ar^2+br+c=0，根据a，b，c三个不同的数值，可能得出两个相同的数值、两个不同的数值或两个复数值。
当r1=r2=n时且不为复数时，则yH=(k1+k2x)e^nx；
当r1≠r2且不为复数时，则yH=k1*e^r1x+k2*e^r2x；
当r1、r2为复数时，如3±j2，则yH=(K1*cos2x+k2*sin2x)e^3x

该方程特解为：y*=x^k*Q(x)*e^(ax)
确定方式如下：
   当q(x)是一个不含e^ax的普通多项式，如2x^2+4，则可确定y*=ax^2+bx+c，然后求两次导带入原方程左侧即可。在确定特征方程时需要注意求导后的方程最高系数要与多项式的系数一致，否则无法做系数比较！
   当q(x)是一个含e^ax的多项式或单独为e^2x的方程，则需要根据a的数值是否与特征方程的解相同来确定k的数值：
         当a∉特征方程任何一个数值时，k=0；
         当a∈特征方程中的任何一个数值时，k=1；
         当a=特征方程的解时，则k=2；
   当q(x)=Acoswx+BsinwX，可设y*=(acoswx+bsinwx)*x^k，确定k的数值如下：
         当jw不是特征方程根时， k=0；
         当jw时特征方程根时，k=1；
   当q(x)=e^x(Acoswx+BsinwX)或e^x*Acoswx(Asinwx)时，可设y*=e^x(acoswx+bsinwx)；

例题：
y''+4y=sinx
解：特征根为r1=r2=±j2，a0=0，β=2
故：yH=K1cos2x+K2sin2x
根据q(x)=sinx
可设特解为y*=(acosx+bsinx)x^0，这里由于p(x)=sinx，其角速度=1，所以j1不是方程的特征根。
再对y*求两次导并带入原方程即可求出y*，这不不赘述过程。
最后y=yH+y*=K1cos2x+K2sin2x+1/3sinx

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