一个有趣的恒等式问题

ID:127437 · 发表于 2016-6-20 21:57

设n是一个正整数，直接证明下等式，不允许直接求和。

这个问题和数学里曾经的直接证明

也就是

的问题也许有一定类似之处，但应该不如那个深刻。

大家好像没有明白这个问题的含义。重点在于，就像问题 2Zeta(2)^2 = 5Zeta(4) 的直接证明那样（欧拉在17++年曾直接得出过Zeta(2)和Zeta(4)的值，但是其“直接证明”（即运用Zeta(2)来计算Zeta(4)，不允许直接求和）在几百年内都没有找到，好像这种恒等式居然“没有”直接证明似的，甚至寻找其直接的、初等的证明在数论中未解决的问题上很长时间作一直为一个问题出现。（1992年才被证出）），这个问题也有类似含义。关键在于，我们要的不是通过计算两个和式来得到答案，更不是要你运用你的等幂求和或数学归纳法的知识，

我们要的是这个看似是“巧合”：三次和刚好等于一次和的平方的内在原因！

（下面这个只是个优美的配图，基本上是不符合要求的解答）

注：对于上图的证明，尽管他没有用到 Σk^3，但他似乎用到了Σk=n(n+1)/2的事实。而且他这个证明基本上是已经把 Σk^3 的公式求了出来，违背了我们的证明要求。。。。

总之，希望大家一起帮忙找一种优美的证明来。我目前还没有找到。。。。

最后Remark：这个问题也就是说，希望能找到一种优美的直接证明

的方法。

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