如果你要计算开方的近似值，不用计算器，你会怎么算呢？如果你一筹莫展，这里有几种好的方法。
我们以√7的计算为例。√7 ≈ 2.64575131106459
1.二分法。
胡老师介绍过，如：计算√7，我们知道它在2与3之间，
第1次计算，取中点2.5，则2.5^2 = 6.25，知√7在2.5与3之间。
第2次计算，取中点2.75，则2.75^2 = 7.5625，知√7在2.5与2.75之间。
第3次计算，取中点2.625，则2.625^2 = 6.890625，知√7在2.625与2.75之间。
第4次计算，取中点2.6875，则2.6875^2 = 7.22265625，知√7在2.625与2.6875之间。
第5次计算，取中点2.65625，则2.65625^2 = 7.0556640625，知√7在2.625与2.65625之间。
第6次计算，取中点2.640625，则2.640625^2 = 6.972900390625，知√7在2.640625与2.65625之间。
第7次计算，取中点2.6484375，则2.6484375^2 = 7.01422119140625，知√7在2.640625与2.6484375之间。
第8次计算，取中点2.64453125，则2.64453125^2 = 6.99354553222656，知√7在2.64453125与2.6484375之间。
第9次计算，取中点2.646484375，则2.646484375^2 = 7.00387954711914，知√7在2.64453125与2.646484375之间。
第10次计算，取中点2.6455078125，则2.6455078125^2 = 6.99871158599854，知√7在2.6455078125与2.646484375之间。
第11次计算，取中点2.64599609375，则2.64599609375^2 = 7.00129532814026，知√7在2.6455078125与2.64599609375之间。
第12次计算，取中点2.645751953125，则2.645751953125^2 = 7.00000339746475，知√7在2.6455078125与2.645751953125之间。
……（以上计算过程由计算机程序给出……）
原理：二分法。
（优点：简单；缺点：计算量很大、过于原始、收敛速度非常慢）
2.列竖式开方
2. 6 4 5
____________
√7.00 00 00
4
40 ------------ (注：40来自于2*20)
3 00
2 76 (40 * 6 + 6^2 = 276)
520 ------------ (520来自于26*20)
24 00
20 96 (520 * 4 + 4^2 = 2096)
5280 ------------- (5280来自于264*20)
3 04 00
2 64 25 (5280 * 5 + 5^2 = 26425)
……
原理：(10a + b)^2 = 100a^2 + 20ab + b^2
(优点：无需估计区间，可直接计算结果。缺点：后期计算量极大，且方法繁杂，难以进行，易出错）
3.“公式”法
__ x k
√k ≈ ----- + ------
2 2x
其中x是√k 的估计值，k是被开方数。
（这个公式是用微分的线性近似法推导出来的。原本的公式有一个平方的计算，为了避免计算平方，我把分式拆开了。这可能是所有方法中最好的）
例：√7
估 x=2.5 ,则
√7 ≈ 2.5/2 + 7/5 = 2.65 (2.65^2 = 7.0225)
再估 x=2.65，则
√7 ≈ 2.65/2 + 7/5.3 ≈ 2.645754 （2.645754^2 ≈ 7.000014228516)
若再估 x=2.64575，则√7≈2.64575/2 + 7/5.2915 = 2.6457513110649
（2.6457513110649^2 ≈ 7.00000000000171889 ，可以看到，已经非常精确了）
原理：线性近似，作出 y=√x 在估计值x0处的切线，并令Δx=(x-x0)，则y(x) ≈ y(x0) + y'(x0) * (x-x0)
(优点：计算非常简单，收敛速度快，一般计算几次就可以得到很精确的值；缺点：需要给出估计值）
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