有趣的雪花曲线

ID:127437 · 发表于 2016-6-20 22:27

雪花曲线，也叫科赫雪花（Koch Curve），科赫在1906年提出。或许是因为长得像雪花而得名的。

这个美丽复杂的曲线却是用极为简单的画法画成的：

先作出一个等边三角形，然后把三角形的每一边都分成三等分，然后再在每一边上的三等分点上作出新的等边三角形，不断重复这个过程，所得的图形就会越来越像雪花，就像这样：

雪花曲线不仅美丽，也有许多神奇的性质，比如，它的周长会是多少呢？
我们看到，每次作图，周长都增加了1/3，也就是每次作图，周长都变成了上一次的4/3，那么，第n次的情况就是(4/3)^n，我们让n趋向于无穷，那么周长也就会变成无穷大：

也就是说，雪花曲线的周长是无限长的。。

那么，面积呢？面积每一次都增加了，如果增加无穷次，面积是否也会变成无穷大？
对于正三角形，如果边长为a，面积就是
___
√3 2

----- a
4

我们看到，每一次作图（第n次），都增加了3^n个三角形，而每个三角形的边长都是上一次的1/3，那么边长就是(1/3)^n ，那么每个新三角形的面积就是：
　 ___
　√3
---------
　　　2n
　4×3

那么可得，第n次作图面积就增加了：
　 ___　　n
　√3　×3
------------
　　　　2n
　　4×3

化简可得：
　 ___
　√3
------------
　　　n
　4×3

那么到第n次，总面积就是：

（Σ是求和的意思）
我们可以作出面积关于n的折线图：

我们发现，随着n的增加，面积S增加的愈来愈慢，这说明随着n的增加，面积S很可能收敛于一个定值，而不是发散到无穷去。

我们用与之前相同的办法求，现在如果让n趋向于无穷，上式就会变成一个无穷级数：

如果我们把√(3)/4提出来，就会变成√(3)/4 Σ1/3^k ，
而Σ1/3^k 我们很熟悉，这是一个几何级数，它收敛到1/(1-1/3)=3/2
因此这个级数就会收敛到：
   __    __
3 √3    3√3
---×---- = ------
2    4    8

(3√3)/8
即：

那么，我们推出了，雪花曲线的面积就是(3√3)/8 ，这个数字大约等于 0.64951905283832898507279237806470213760355197017889273552092761729447

你可能会很惊奇，因为周长每一次都在增加，最后变成无穷长；每一次作图面积也在增加，但却收敛于一个定值，而不是无穷大。这意味着神奇的雪花曲线是用着一段无限长的周长围出了一片有限多的面积，是不是很有趣？

更有趣的是，雪花曲线还有许多其他神奇的性质，比如说，它是一个分型图形，它本身也具有递归的特性，而且在这条曲线上的任何一点都无法做出切线，（即处处不可导）这会导致你无法确定这个图形接下来往哪画。还有比这更奇怪的，这条“曲线”事实上不由任何一些“直线”或是“曲线”构成，因为每一条直线又都由一堆的“三角形”构成，但这些三角形的边却又由三角形构成。无论你怎么放大，你也无法看见任何一段直线，或是曲线……这一点跟魏尔斯特拉斯函数有异曲同工之妙。。（这是一个处处连续但处处不可导的函数，即任何一点无法做出切线）

附：魏尔斯特拉斯函数图像：

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