[分享]交流 场到路的演变

电路的基础有三个方程，它们是KVL、KCL和欧姆定律（广义形式U = Z I）。就算是那些半导体电子器件，多半也是采用适当的等价模型变成电路中的基本理想元件的组合。是否有人怀疑过那几个方程的合理性？它们来自何方？下面将从场中找到它们的根。

先给出场的八个基本方程。不熟悉者可找《电磁学》查阅。

Maxwell 微分方程(一般形式)
▽?D = ρ
▽?B = 0
▽╳E = - dB/dt
▽╳H = J + dD/dt

连续性方程
▽?J = - dρ/dt

本构关系(constitutive relationships)
J = σE
B = μH
D = εE

这八个方程，构成了电磁场的基石。这些方程中只有六个是独立的基本方程（其他两个可被导出），选择如下六个基本方程：

法拉第电磁感应定律
▽╳E = - dB/dt

安培全电流定律
▽╳H = J + dD/dt

连续性方程
▽?J = - dρ/dt

本构关系
J = σE
B = μH
D = εE

若介质为简单介质（均匀、线性、各向同性），则有限定形式如下

▽╳E = - dB/dt
▽╳B = μJ + μεdE/dt
▽?J = - dρ/dt
J = σE

利用高斯散度定理和斯托克斯旋度定理，可得积分方程

∮E?dl = - d(∫B?ds)/dt = - dΦ/dt
∮B?dl = μ∫J?ds + μεd(∫E?ds)/dt = μI + μεdΨ/dt
∮J?ds = d(∫ρdv)/dt = dQ/dt
J = σE

至此，得到了四个电磁学基本方程。它们从微观到宇观，从静态到γ波段都得到了充分的实验验证。是目前无可挑剔的基本物理规律。

下面在此基础上，建立KVL，KCL和欧姆定律：

一，KVL

基于法拉第电磁感应定律（积分形式）

∮E?dl = - d(∫B?ds)/dt = - dΦ/dt

沿电路作环路积分，若有电感则沿电感线圈中的导线作环路。

现在作两个假设（即近似）：

1）假设导线为理想导体，即电阻率为零。
2）假设导线为等势体，通常波长比导线长一个数量级以上就可以近似认为成立。

由此假设，上式的左边积分在导线内将为零。环路积分变成了形式ΣUk，其中UK为除电感以外环路中各器件的电势差（电压）。
现在再考察等式的右边。将磁链分成两部分，其一为穿过电感线圈，其二是穿过电路中的环路，表为 - dΦ1/dt – dΦ2/dt。则方程变成：

ΣUk = - dΦ1/dt – dΦ2/dt

现在再作进一步近似，认为dΦ2/dt 很小，可以忽略（通常低频下是可行的）。再移项可得：

ΣUk + dΦ1/dt = 0

这就是KVL，其中dΦ1/dt表示电感上的电势差（电压）。

二，KCL

基于连续性方程（积分形式）

∮J?ds = d(∫ρdv)/dt = dQ/dt

作一个封闭曲面包含电路节点。显然，绝缘体介质中电流密度为零，上式左边变成ΣIk，其中IK为某一导线支路电流。现在作一个近似，认为节点处（曲面内）对外无位移电流，即dQ/dt近似为零。便得：

ΣIk = 0

此乃KCL

三，欧姆定律

不难由J = σE，得到I = U / R。至于I = U / Z，不妨可自己利用前面的基本场方程导出电容和电感的表达形式。


至此，从场方程中经适当的假设或近似推导出了电路中的基本方程。从中可以看出电路的基础和局限。从而也应该知道，在什么条件下需要改造电路中的基本方程以适应特殊的情况。
交流地址：http://bbs.21ic.com/forum.php?mo ... st%3D1%26digest%3D1