实验项目总共十二个,包括：
系统建模和稳定性分析
频域法复合校正
根轨迹校正
复合校正的分析及改进
PID 法校正
状态反馈控制
频域法校正
不同状态下状态反馈控制效果比较
根轨迹法复合校正
LQR 控制
PID 法复合校正
开环频率特性测试
倒立摆的控制算法多种多样，各种方法都有其各自的领域及重点，通过算法的比较，可以看出它们彼此之间的一些优缺点
倒立摆实验内容基本原则：应能满足任务书所选控制对象的技术性能指标要求；本设计以单片机、DSP以及计算机为控制器；要求独立完成所选课题的控制系统方案设计、硬件电路设计、控制软件设计、系统建模、数值仿真或实验验证分析；独立完成设计文档。 基本步骤：系统调研分析；对控制系统进行设计之前，首先要查阅一定量的文献资料，明确设计任务要求，控制对象的特点与控制工艺要求等。微处理器选择； 本设计提供两种微处理器供选择：单片机和DSP。 硬件电路设计：根据控制对象特点和设计要求，独立完成系统硬件线路原理图设计和PCB版图设计。硬件电路设计包括：单片机或DSP基本系统设计、输入\输出电路设计、人机接口电路设计等。 系统程序设计首先根据控制对象控制工艺要求，画出系统控制软件程序流程图，在此基础上完成系统全部程序设计工作。包括：人机界面程序和实时控制程序。 系统建模与仿真：根据所选的控制对象，建立控制对象模型，应用Matlab仿真软件进行数值仿真，观测分析PID控制参数（比例系数、积分系数和微分系数）对控制性能的影响，记录仿真结果。 实验验证：部分控制对象可以在计算机控制技术实验室的实验平台是进行实物实验验证。独立完成系统搭建工作，调整PID控制参数（比例系数、积分系数和微分系数），记录实验结果，观测分析PID控制参数对控制性能的影响。
第3章 倒立摆系统建模
3.1倒立摆系统建模概论倒立摆系统其本身是自不稳定系统，实验建模存在一些问题和困难，在忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统是一个典型的运动的刚体系统，可以再惯性坐标系中运用经典力学对它进行分析，来建立系统动力学方程。在忽略掉了空气阻力和各种摩擦力之后，可以讲一阶倒立摆系统抽象成小车和均匀杆组成的系统，一阶倒立摆系统的结构示意图如下： 
图2 一阶倒立摆系统的结构示意图 定义的参数为： 小车质量 - 摆杆质量
-
 小车摩擦系数
 摆杆惯量
 加在小车上的力
 小车位置
 摆杆与垂直向上方向的夹角
 摆杆转动轴心到杆质心的长度
 摆杆与垂直向下方向的夹角（摆杆初始位置为竖直向下）
得到小车和摆杆的受力图： 
图3 小车和摆杆的受力图 系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。机理建模是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、 化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入—输出状态关系。 实验建模是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入—输出关系。 这里面包括输入信号的设计选取、 输出信号的精确检测、 数学算法的研究等等内容。对于倒立摆系统，经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后， 它就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。 下面采用其中的牛顿—欧拉方法建立直线一级倒立摆系统的数学模型。 3.2倒立摆数学模型的建立分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： 设摆杆受到与垂直方向夹角? 为的干扰力Fg ，可分解为水平方向、垂直方向的干扰力，所产生的力矩可以等效为在摆杆顶端的水平干扰力Fs、垂直干扰力 Fh 产生的力矩。 对摆杆水平方向的分析可以得到式： 即： 对图摆杆垂直方向上的合力进行分析，可得式： 即： 力矩平衡方程如下： 带入 P 和 N，得到方程： 设?=?+?（?是摆杆与垂直向上方向之间的夹角，单位是弧度）。设? ?? 1，则可以进行近似处理： 由于： 方程可化为： 令： Ff=Fg(-sin?-?cos?)则化简为： 即是化简后的直线一级倒立摆系统微分方程。 带入实际数据后，微分方程如式： 当忽略系统Ff ，系统微分方程如式： 忽略干扰力后，直线一级倒立摆系统是单输入二输出的四阶系统，考虑干扰力后，直线一级倒立摆系统是二输入二输出的四阶系统。其内部的 4 个状态量分别是小车的位移 x 、小车的速度 v 、摆杆的角度? 、摆杆的角速度? 。系统输出的观测量为小车的位移 x 、摆杆的角度? 。其控制量为小车的加速度a ，Ff 是直线一级倒立摆运动中各种干扰因素的综合项，可以等效为干扰力考虑。 建立系统传递函数 根据系统微分方程式（1-10c），转化为关于加速度输入量和角度输出量的传递函数： 直线一级倒立摆稳定性分析 构建如图 3.4 所示闭环系统，则系统的闭环极点为（±5.1381）： 图3-4闭环系统 由于有实部为正的极点，所以闭环系统不稳定，必须设计控制器使系统稳定。 仿真实验 1) 在 LAB\simulink 中构建图 3.5 所示所示系统的仿真程序 e1，默认格式 slx，加入 1m/s2的阶跃信号。 图3-5构建图 2) 双击 Setup 模块，设置 Final value 值为 1 3) 点击“  ”，运行仿真程序 4) 双击打开 Scope 示波器，查看仿真曲线 图3-7仿真曲线 5) 此时系统发散，不稳定。 实验记录：
3.3定量、定性分析系统的性能设系统状态空间方程为： 
方程组对 解代数方程，得到解如下： 
整理后得到系统状态空间方程： 
实际参数代入： 一阶倒立摆系统，系统内部各相关参数为： 小车质量 0.5 Kg ；  摆杆质量0.2 Kg ；
小车摩擦系数0.1 N/m/sec ； 摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3 m ； 摆杆惯量0.006 kg*m*m ；  采样时间0.005秒。
将上述参数代入得实际模型： 摆杆角度和小车位移的传递函数： 
摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数： 
以外界作用力作为输入的系统状态方程： 
对系统的稳定性进行分析 在MATLAB中运行以下程序： A=[ 0 1 0 0; 0 -0.181818 2.672727 0; 0 0 0 1; 0 -0.454545 31.181818 0]; B=[ 0 1.818182 0 4.545455]'; C=[ 1 0 0 0; 0 0 1 0]; D=[ 0 0 ]'; [z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D) z = -4.9497 0.0000 + 0.0000i 4.9497 0.0000 - 0.0000i p = 0 -5.6041 -0.1428 5.5651 k = 1.8182 4.5455 >> impulse(A,B,C,D） 系统脉冲响应 由图可得，系统在单位脉冲的输入作用下，小车的位移和摆杆的角度都是发散的，同时，由以上程序的零极点得极点有一个大于零，因此系统不稳定。 对系统的稳定性进行分析： A=[ 0 1 0 0; 0 -0.181818 2.672727 0; 0 0 0 1; 0 -0.454545 31.181818 0]; B=[ 0 1.818182 0 4.545455]'; C=[ 1 0 0 0; 0 0 1 0]; D=[ 0 0 ]'; >> Qc=ctrb(A,B); >> Qo=obsv(A,C); >> rank(Qc) ans = 4 >> rank(Qo) ans = 4 因此系统为完全能观测和完全能控的。 第4章 倒立摆系统校正
4.1倒立摆系统的PID 校正 1. PID 法校正直线一级倒立摆系统 PID 的控制算法有很多，不同的算法各有其针对性。图 5-1、图 5-2、图 5-3 给出了三种不同的算法。在模拟控制系统中，控制器最常用的控制规律是 PID 控制。模拟 PID 控制系统原理框图如图5.2 所示。系统由模拟 PID 控制器和被控对象组成。 图 4-1 模拟 PID 控制原理图 图 4-2 微分先行 PID 控制原理图 图 4-3 伪 PID 控制原理图 PID 控制器是一种线性控制器，它根据给定值r(t)与实际输出值c(t)构成控制偏差e(t) 。 e(t)=r(t)-c(t) 将偏差的比例 P、积分 I 和微分 D 通过线性组合构成控制量，对被控对象进行控制，故称为 PID控制器，其控制规律为： 写成传递函数形式为： 式中： K :比例系数； TI ：积分时间常数； TD ：微分时间常数；控制器设计和仿真中，也将传递函数写成： 式中： KP —比例系数、 KI —积分系数、 KD —微分系数。从根轨迹角度看，相当于给系统增加了一个位于原点的极点和两个位置可变的零点。 简单说来， PID 控制器各校正环节的作用如下： 1) 比例环节：成比例地反映控制系统的偏差信号，偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用，以减少偏差。 2) 积分环节：主要用于消除稳态误差，提高系统的型别。积分作用的强弱取决于积分时间常数越大，积分作用越弱，反之则越强。 3) 微分环节：反映偏差信号的变化趋势（变化速率），并能在偏差信号值变得太大之前， 在系统中引入一个有效的早期修正信号，从而加快系统的动作速度，减小调节时间。 2. PID 参数整定方法 1) 根轨迹法 PID 的数学模型可化为： 相当于是给系统增加了一个位于原点的极点和两个位置可变的开环零点，因此对于低阶已知数学模型的系统，根据期望的性能指标可以采用根轨迹法确认 PID 参数。 2) 频域法 对于已知频率特性曲线的系统， PID 控制器相当于给频率特性曲线增加了积分环节和一个二阶微分环节，通过调整 PID 参数，可以改变 PID 控制器的频率特性，进而改变闭环系统的频率特性。 3) 凑试法 在 PID 参数进行整定时如果能够用理论的方法确定 PID 参数当然是最理想的，但是在实际的应用中，由于各种因素影响，更多的是通过凑试法来确定 PID 的参数。 增大比例系数 P 一般将加快系统的响应，在有静差的情况下有利于减小静差，但是过大的比例系数会使系统有比较大的超调，并产生振荡，使稳定性变坏。 增大积分时间 I 有利于减小超调，减小振荡，使系统得稳定性增加，但是系统静差消除时间变长。 增大微分时间 D 有利于加快系统的响应速度，使系统超调量减小，稳定性增加，但系统对扰动的抑制能力减弱。 在凑试时，可参考以上参数对系统控制过程的影响趋势，对参数调整实行先比例、后积分、再微分的整定步骤。首先整定比例部分，将比例系数由小变大，并观察相应的系统响应，直至得到反应快、超调小的响应曲线。如果系统没有静差或静差已小到允许范围内，并且对响应曲线已经满意，则只需要比例调节器即可。如果在比例调节的基础上系统的静差不能满足设计要求，则必须加入积分环节。在整定时先将积分时间设定到一个比较大的值，然后将已经调节好的比例系数略为缩小（一般缩小为原值的 0.8），然后减小积分时间，使得系统在保持良好动态性能的情况下，静差得到消除，在此过程中，可根据系统的响应曲线的好坏反复改变比例系数和积分时间，以期得到满意的控制过程和整定参数。如果在上述调整过程中对系统的动态过程反复调整还不能得到满意的结果，则可以加入微分环节，首先把微分时间 D 设置为 0，在上述基础上逐渐增加微分时间，同时相应的改变比例系数和微分时间，逐步凑试，直至得到满意的调节结果。 3. 采用根轨迹法确定 PID 参数举例 加 PID 控制器后角度闭环结构图如图所示： 图4-4加 PID 控制器后角度闭环结构图 角度控制系统的开环传递函数为： 开环极点为：±5.42， 0 开环零点为： PID 环节为系统增加了一个位于原点的极点，两个可变的零点。系统有共有两个零点、三个极点。三阶系统可以采用根轨迹法确定 PID 参数。根据两个零点的相对位置，可以把根轨迹分成八种，如下图所示： 图4-5两个共轭零点位于右半平面 图4-6两个零点在实轴上，均在正极点的右侧 图4-7两个零点在正实轴上，其中一个位于正极点右侧 图4-8一个零点在正实轴上，一个位于负实轴上 图4-9两个共轭零点负实部介于负极点和原点之间 图4-10两个负实零点介于负极点和原点之间 图4-11两个负实零点位于负极点左边 图4-12两个共轭零点，负实部位于负极点左边，距负极点较近 图4-13两个共轭零点，负实部位于负极点左边，距负极点较远 从上述八种图可以看出，图4-5、图4-6、图4-7、图4-8 所示四种根轨迹，闭环系统一定有右极点，不稳定；图4-9、图4-10 所示，至少有两个闭环极点位于左极点和原点之间，系统快速性不好；图 4-11所示虽然三个闭环极点均可位于左侧，但是中间一根根轨迹分支其长度有限，根轨迹增益即使发生变化很大，系统快速性也不会有很大改善；图4-12、图4-13可以通过调整更轨迹增益使闭环系统极点位于开怀左极点的左侧，并且尽量靠近负实轴，设计出快速性、稳定性均较好的系统。 4.2 倒立摆系统的根轨迹校正 1. 根轨迹法分析直线一级倒立摆系统稳定性直线一级倒立摆单入单出系统开环传递函数为： 开环系统的极点为：±5.42 闭环环根轨迹如图： 图4-15闭环环根轨迹 由系统根轨迹图可以看出闭环传递函数的一个开环极点位于右半平面，并且闭环系统的根轨迹关于虚轴对称，这意味着无论根轨迹增益如何变化，闭环根总是位于正实轴或者虚轴上，即系统总是不稳定或临界稳定的。 2. 零极相消法校正 对于二阶系统而言，闭环极点距离虚轴越远，系统的调节时间就越短；闭环极点距离负实轴越近，超调量就越小。不妨对系统新增加一个开环零点和一个开环极点，零点为-5.42，消去倒立摆的开环左极点，增加一个位于 40 的开环左极点。控制器为： k 为开环增益，控制系统结构图如图所示： 图4-16控制系统结构图 加控制器后系统根轨迹图如图所示： 图4-17控制器后系统根轨迹图 当k = 400，加入阶跃激励信号为 0.05m/ 时，?(s) 仿真输出如下图所示： 图4-18仿真输出 3. 加根轨迹校正后实时控制实验 1) 打开倒立摆系统电控箱上的电源，然后将倒立摆小车扶至导轨中间位置。 2) 在 Matlab 命令行中输入 gtbox，打开 gtbox 工具箱中“gtbox/Inverted Pendulum/Servo MotorDriven/GLIP/GTS/One Stage/2-Root Locus”路径下的“Root_Locus_Control_gts”程序。 图4-19命令行图 a) 实时控制程序程序设计简介： 输入目标摆杆角度， 设计闭环负反馈系统，加根轨迹校正模块使系统，输入目标摆杆角度信号与系统反馈角度信号比较后通过根轨迹控制器使系统满足要求。 b) 程序模块说明 ① 蓝色模块均为运动控制卡模块详见第二章 2.2 节； ② Angle Ref 模块：目标摆杆角度； ③ Enter Ang 模块：比较目标与实际角度差值小于 10°时该模块连通后续模块； ④ Slider Gain 及 Transfer Fcn1 模块：根轨迹控制器； ⑤ Real Control 模块：详见第二章 2.3 节； 3) 点击“ ”编译程序； 4) 编译成功后，点击“ ”连接程序，点击“ ”运行程序 5) 程序运行后，用手扶摆杆末端扶起摆杆至竖直向上位置，此时程序进入控制，扶住摆杆末端使其维持在导轨中间位置； 6) 然后把“Step Switch”模块打到0.05/时，Angle中系统输出响应情况 图4-20系统输出响应图 实验记录：
实验分析及思考： 1. 系统不稳定的原因分析 直线一级倒立摆系统是小车在光滑的导轨上运动，小车上铰链了一根摆杆。当摆杆被控时，小车运动的位移也受到导轨实际长度的限制。因此，输出量除了摆杆角度外，还有一个小车运动的位移。位移与输入量小车加速度之间的关系为： 控制系统结构如如图所示： 图4-21控制系统结构图 此时位移输出仿真图如图所示：横轴单位：秒、纵轴单位：米 图4-22位移输出仿真图 小车一直向一端加速，最终导致小车撞限位，摆杆不稳定。 由于倒立摆运动中，不可避免地会受到各种因素的干扰，即使在平衡状态，角度、位移也会在一定范围内波动。因此，可以通过在输入端加入恒定的一个小阶跃信号，补偿各种干扰对倒立摆稳定造成的影响，即静态补偿的方法，使倒立摆系统静态稳定。注意：静态补偿值的大小，与倒立摆摆杆扶起的速度、方向、导轨摩擦力等有关，需要反复凑试确定，而且每次都有所偏差。
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