关于鸡兔同笼与二元一次方程的笑谈——非常浅地谈数学的内涵

ID:127437 · 发表于 2016-6-20 22:00

注：本文不适合有一定数学经验理解的人和数学专家阅读。
关于鸡兔同笼问题，有一个传的很广的笑话。原文照搬如下：

鸡和兔15只，共有40只脚，鸡和兔各几只？算法：假设鸡和兔训练有素，吹一声哨，抬起一只脚，40－15＝25。再吹哨，又抬起一只脚，25－15＝10，这时鸡都一屁股坐地上了，兔子还两只脚立着。所以，兔子有10÷2＝5只，鸡有15－5＝10只。这种算法，让二元一次方程情何以堪。…

说实话，我看了之后确实笑了，但不是因为这个笑话本身好笑，而是这个笑话，以及作出这个笑话的人对数学的认识不够。
在本文中，我将向您揭示这个笑话的数学实质，并由此简要地、非常浅地谈一下数学的内涵，这包括代数与实际之间的联系，以及数学是如何抽象生活中的概念的。最后，您将能知道如何将一个实际问题的代数解法转变为一个算术解法。

首先，让我们来回顾一下这个问题的二元一次方程的解法。
设鸡x只，兔y只，则x与y满足如下方程：

x + y = 15  (1)
2x + 4y = 40  (2)

现在，我们如下进行：
      将（2）式连续减去两次（1）式
         第一次减得到 x + 3y = 25
         第二次减得到 2y = 10
         故 y = 5。
         因此 x = 15 - y = 10。

我想，有一定观察能力的人已经看出问题来了。是的，这两个解法完全是一样的，不仅如此，二元一次方程反而更加简洁，无论是在运算还是在思路上都更加简单、清晰、容易接受。问题就出在很多人没有真正理解在数学语言——数学是抽象的语言，它不代表具体事物，而是可以代表任何事物，甚至于数学本身！——如果我把鸡和兔换成圆规和方桌呢？
二元一次方程哪里会“情何以堪”，他正在哈哈大笑呢！他会说：“笑的就是那些没有真正理解我，反而嘲笑我的人。”

事实上，从代数的语言，我们还可以得到许多看起来是“完全不同的、更加奇思妙想”的解法。下面再摆这两个方程：

x + y = 15  (1)
2x + 4y = 40  (2)

现在，我们用另外的方法解它：
      将（2）式除以2
         x + 2y = 20
      将上式减去(1)
         y = 5
      由此得
         x = 15 - y = 10

上面的解法不难变成如下“奇思妙想”的解法：

让鸡和兔各自抬起一半的脚，此时鸡一只脚支地，兔两只脚，因此兔数等于脚数减去头数，得5，故兔5只，鸡15-5=10只。

下面再摆这两个方程：

x + y = 15  (1)
2x + 4y = 40  (2)

现在，我们用另外的方法解它：
      将从1中解出y
         y = 15 - x
      将上式代入(2)
         2x + 4×(15 - x) = 40
         (2 - 4)x + 4×15 = 40
         (4 - 2)x = 4×15 - 40
         x = (4×15 - 40)÷(4 - 2)
            = 10

上面的解法不难变成如下“奇思妙想”的解法：

给每只鸡或兔都戴一个“四脚帽”，“头上面的脚”的总和就会比真正的脚多出两倍鸡的数量，因此减出鸡10只，兔15-10=5只！

事实上，我们只不过是把题目
      鸡和兔15只，共有40只脚，鸡和兔各几只？
改成如下陈述：
      鸡 + 兔 = 15
      2鸡 + 4兔 = 40
而已，这个陈述显然跟原题目没有区别（等价）。而“鸡”在这里完全可以抽象为“x”，因为我们关心的只是鸡的个数而非实际的鸡。
x + y = 15
2x + 4y = 40
对x和y的每一个操作，包括加一，乘二，除二，开方等等，都有其实际的内涵在里面。可惜这种对代数方程再简单不过的理解，我们的教材不讲，老师也不谈，最后造成了这个笑话的产生。

每一个等式，都是一个内涵。
      比如下面这个等式展示了数学的简单而美丽既深刻又丰富的内涵：

（注：这个简单的等式并非来自代数，在16~17世纪就被发现了（据说莱布尼兹（他不是最先发现该公式的人）因为发现这个公式，深感自然界的神秘，便决心从律师转为数学家去从事数学研究了。）。但令人感到神秘和惊讶的是几百年后人们发现它与 Q(√-1) 的类数为1有关，而后者属于代数与整数的深处。）

我们以高斯的一句名言结尾：“数学中重要的是概念而不是记号。”

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