部分翻译四旋翼基础
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Modeling, Estimation, and Control of Quadrotor.pdf
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第五页：
定义：A（flap）,其中w是角速度的设定值。此矩阵描述的是旋翼挥舞对机身视风的敏感度，
假定（9）式中u很小并且u2分母上可以忽略。A(flap)第一行将（9）式速度转换为平行于机身x轴。
第二行有一个pi/2的旋转，来解释视风方向是沿着y轴，第三行突出沿机身坐标z轴的速度。
我们将刚性旋翼视为简单的扭矩弹簧，以此，诱导阻力直接与这个角（torsional spring）成
比例并且可以由总的推力衡量。挥舞角较于诱导阻力是可以忽略的，机身坐标下的诱发阻力
D（ind),式子中dy,dx是诱发阻力的系数。
作用在旋翼上的外力建模如下 F（10），其中D=A(flap)+diag（dx,dy,0）,T(sigma)见（5）式
旋翼挥舞和诱发阻力的一个重要结果是四旋翼在水平面上可以自然的保持平衡。
定义P（h）（11）式为x-y平面的投影矩阵。｛A｝中速度的水平分量为v(H)（12）式。
回看（1b）并投影到速度的水平面上，有mv.如果飞行器水平飞行，也就是vz=0，那么重写v
和（13）式。最后一部分较少阻尼，对于一个典型的系统，D矩阵半正定。
四旋翼的一个详细模型，包括旋翼挥舞和诱发阻力，被包含在MATLAB的机器人工具箱里。
呈现在SIMULINK库里，包含一系列四旋翼惯性和气动力学参数。动画块的图形输出见图4。
文献【1】有路径跟随和基于视觉的稳定性更详尽描述。
以上论述没有考虑几种附加的空气动力学影响，这些影响对于高速和高机动的四旋翼是重要的。
尤其，我们没有考虑平移升力和阻力，这将会影响高速下的四旋翼产生升力，轴流建模以及
影响轴向运动推力的涡旋态，并且地面效应会影响贴面飞行。值得注意的是高增益控制可以
控制所有的二次空气动力学效应，再者，四旋翼的高性能控制已经证明可用于静推力模型。
旋翼挥舞和诱发阻力的详细模型被提出，由于它在理解状态估计算法的重要性，将在后边提到。
SWAP/CASL
减小四旋翼级别会发生关于惯性、负载和最大可实现的角和线性加速度的有趣结果。研究尺度，
建立一个简单的物理模型去分析四旋翼在悬停状态产生线性加速度和角加速是十分有用的。
如果特征长度是d，旋翼半径r与d呈线性关系。质量级d3，惯性矩d5。另一方面，从（3）
到（4），升力或推力，T,阻力，Q，旋翼速度，w2是显而易见的。换言之，
T~w2d4和Q~w2d4,线性加速度a，它们取决于推力和质量；角加速度aerfa取决于推力，
阻力，力矩和惯性力矩，尺度是a=w2d,aerfa=w2。
为了发现旋翼速度尺度与长度的关系，采用两种可接受的通用方法研究尺度是有帮助的。
Mach尺度对于可压缩流动和基本假设（旋翼尖速度vb是常数导致w~(1/r)）是有效的。
Froude尺度对于不可压缩流动和基本假设（对不同的飞行器配置是常数Froude number）。
这里，g是重力加速度。假设r~d,我们得到w~(1/r)。因此，Mach尺度预测为a~1/d,aerfa~1/d2
然而Froude尺度结论是a~1,aerfa~1/d。诚然Froude和Mach的数据仿真既没有考虑电机特性
也没考虑电池性能。当电机扭转力矩增加，旋翼的速度取决于电机力矩速度特性和旋翼的阻力
速度特性匹配。进一步讲，电机力矩取决于电池对所需电流的提供能力。最后，前一节假设的
旋翼是刚性的可能是错误的。进一步，旋翼气动力学针对不同的叶片设计对小型直升机叶片
设计是不同的，并且升力速度的二次缩放也可能会不准确。
虽然，在上述的建模分析中，Froude和Mach参数分析关键点在于较小的四旋翼能够产生
更快的角加速度，同时，线性加速度在最坏的情况下不受缩放影响。但是，较小的四旋翼
灵活性更高，一个事实就是，可以轻易的从ATP四旋翼实验看出（2KG总重，0.75米直径
，悬停电极转速5000r/min），以及在Pennsylvania大学GRASP实验室进行的实验（75g
总重，0.21米直径，电机悬停速度9000r/min）。
Estimating the Vehicle State
状态估计的关键包括四旋翼高度、姿态、角加速度和线性加速度的控制。这些状态中，
姿态和角速度是最重要的，同样的，它们作为主要因素应用在飞行器姿态控制。任何四旋翼
携带最基础的仪器是惯导单元（IMU），通常用超声波、红外、气压计或激光来增强高度
测量，更多的机器人会搭载更复杂的传感器单元，例如VICON系统，GPS,相机，体感或
激光扫描测距仪。
Estimating Attitude
典型的IMU包括三轴速度陀螺仪，三轴加速度计和三轴磁力计。速度陀螺仪测量｛B｝中
角速度关联到｛A｝，并且参照｛B｝表示在机体坐标系中：oumiga(IMU)=oumiga+b(oumiga)
+yita,其中yita表示加性测量噪声、b（oumiga）是陀螺仪偏差常量（或随时间慢慢变化）。
通常，陀螺仪内嵌在四旋翼一个抗干扰可靠的设备里---MEMS。
加速度计（存在捷联式IMU）测量外力在｛B｝中产生的瞬间加速a(imu)。其中b(a)是一个偏差，
yita(a)表示加性测量噪声，v(点)来自惯性系。由于我们将在本节解决数学表达的问题，我们用
记Z=a3。安装在四旋翼上的加速度计对振动十分敏感，并且，加速度计需要低通设备和/或低通
电子滤波器使能。大多数四旋翼航空设备在信号采样前会将滤波器嵌入MEMS加速度计里。
通常用的估计b(oumiga)和b(a)技术是在几秒内对多数传感器输出求平均，在四旋翼置于地面
电机还未启动。接着，假设偏差是飞机飞行时间常数。
磁力计提供环境磁场（可能是判定方向）的测量m(IMU)，其中（A）m表示地磁场（表示在
惯性系），B（m）是表示在机身坐标的局部地磁扰动，噪声量yita(b)较磁力计的读入很小；
然而，局部地磁扰动很重要，尤其当传感器置于电极电源线附近。
加速度计和磁力计通常用来提供关于机身的绝对姿态信息，速率陀螺仪提供加速度测量补偿。
磁力计信号包含的姿态信息可直接被理解；当缺乏噪音和偏差，m(IMU)提供一个R(t)(A)m和
约束二自由度的R旋转。
本文用加速度计信号来估计姿态是巧妙的/微妙的。用最简单的模型（6）式，令derta恒为0，
a(IMU)。这表明，简单模型所测的加速度总是指向机身坐标Z轴方向，并没有提供姿态信息。
实践中，推力的旋翼挥舞部分提供加速度信号。回顾（10）式并忽略偏差和噪声部分，a(IMU)
可以被记为（16）式。我们将在这一部分后边讲到，仅有低频的加速度信号被研究者构建。
因此，只有速度v的低频或近似稳态响应，被估计用来构建关于a(IMU)低频部分模型。
（1b）中另v(.)=0，带入（10）式，重新整理，得到速度低频分量的估计式子，带入（16）式
得到（17）式。其中a(-IMU)表示加速度信号低频分量。也就是说，当飞机在悬停时a（IMU）
的低频分量是机身坐标系支撑力的表述，支撑力在机身坐标系中是负重力矢量（大小相等方向
相反）。当四旋翼v(.)=0，多数机器应用涉及悬停，慢速前进时耗费大量时间；同时用这个
飞行状态期间加速度计获取的信息作为参考，在实践中表现良好。
飞行器姿态运动学在（1c）中给出。用R(^)表示四旋翼姿态R的估计。在文献【12】中观测
融合了加速度计，磁力计，陀螺仪数据，和其他姿态估计R(E)（例如VICON提供的或其他外围
测量系统），如下（18）式。其中k(a),k(m),k(E)，k(b)是任意非负观测获取值，
P是欧几里德矩阵投影到反对称矩阵。如果关于aerfa的任意一个测量不能得到或实现，那么
观测（observe）相关增益应被置零。姿态R(^)和偏置修正角加速度oumiga(^)都是被这个
观测得到。（18）式的观测在文献【12】【13】中被广泛研究，并显示出姿态的期望姿态估计
指数收敛（理论和实验中），伴随着b(^)收敛于陀螺仪偏差b。滤波器有很好的互补性，用
陀螺仪的高通部分，磁力计、加速度计、外部姿态测量的低通部分【12】。滚降频率和弧度
单位的增益k(a),k(m),k(E)有关，观测的良好表现依赖k(a),k(m),k(E)的调整。尤其，加速计
增益必须调整低于正常飞行器运动带宽，针对典型的四旋翼应小于5弧度/秒。磁力计和外部
增益可依赖可靠的信号调整的比滚降频高点儿。偏差增益k(b)特意选择一个比创新增益小得多
的数量级，k(b)<k(A)/10，这样就会引起偏差估计耗时至少30秒。这个动态响应对于追踪
缓慢变化的偏差和减弱从姿态响应估计偏差是必要的。然而，起飞时用一个偏差估计来初始化
observe是必要的，以此来避免长时间的滤波响应。
这一observe方程的独到特色是增益可以实时跳整只要注意偏差增益很小。实时调整增益允许
one在飞机悬停时期使用加速度计，然后，在关于a(IMU)低频假定不再保持的时候设定k(a)=0
来进行特技飞行。非线性鲁棒、保证渐进稳定、增益调节的灵活性使得这个observe成为四旋翼
姿态估计的首选，较扩展卡尔曼滤波器、复杂卡尔曼滤波器或更复杂的随机滤波。
Estimating Translational Velocity（平动速度估计）
旋翼挥舞响应提供了一种方法来建立一个观测，关于飞行器基于IMU传感器获取的水平速度，
至少是飞行器在水平面飞行。假定飞行器姿态R(^)的良好估计已知，并且飞行器在一恒定的
高度飞行。
回顾投影（11）式，惯性加速度的水平分量可悲表示如（19）式，其中信号a和R(^)已知。
由于我们已经假设飞行器在意恒定高度飞行，那么v(z)=0,回看（12）式，Pv=v。进一步，
升力T(omiga)=mg来补偿机身重量。回看（16）式和考虑水平分量，可得（20）式。
假定姿态估计滤波很稳定，即，R(^)=R，那么（19）（20）可用来估计v(h)的估计见（21）。
v(h)的估计被很好定义，只要2*2矩阵PRDRP可逆，只要飞行器在飞行过程中横滚和俯仰角
小于90度，这一condition可被保存。
方程（21）提供了一个水平速度的测量；然而，它是直接从未滤波的加速度计获取，所以包含
大量噪音而不能用。然而，低频成分可被用于驱动速度互补观测器--它利用姿态估计和系统
模型(1b)以及推力模型（10）作为它的高频部分。令v(^h)为飞行器的惯性速度的水平分量
估计。回看（1b），我们提出（22）式，其中v(h)见（21）式。增益k(w)>0是调整参数来
调整来自v(^h)中滤波器信息的滚降系数。observe 也用一个速度估计v(^h)提供一个稍正确的
RDRPv(h)部分前进速度近似；然而，和RDRPv(h)部分相关的潜在运动很稳定，尽管有近似
但是观测器仍然很稳定。
Estimating Position
位置估计是状态的最后一部分，位置估计通常分为水平和垂直两个方向。先考虑垂直方向，
这个方向上有两个相对独立的高度，一个是飞行器的绝对高度，一个是给定时间点对于地形
的相对高度。不幸的是，我们不能利用IMU有效的去估计绝对高度；最好，加速度计的z轴
低频信息提供垂直运动的限制信息。大多数包含气压传感器的四旋翼可以解决厘米级的绝对
高度。绝对高度也可以用GPS\VICON\SLAM系统。相对高度可用超声波、激光测距或红外
激光传感器获取。一旦一个足够精确的高度测量可以实现，我们可以直接用这个测量而不必
增加额外的高度探测器复杂设计，对于典型的系统，尤其因为前馈信息的获取是由加速度计。
水平位置也可以划分为相对和绝对。相对位置可有GPS（10HZ厘米级精度）获取或者是一些
像VICON运动捕获系统（375HZ50um精度）的外部定位获取。然而，GPS在室内失效并且
运动捕获设备昂贵，加上他们的传感器阵列有空间延伸的限制且对于大面积的室内空间规模
进行测试是不切实际的。
相对位置的测量通过板载传感器测得周围环境物体，小的板载激光测距单元，RGBD相机系统
例如Kinect。众所周知的SLAM技术，借鉴激光测距技术发展类似的技术应用到地面移动
机器人在上个十年，已经应用到四旋翼上【14】。然而，激光测距仅提供3D环境的横截面信息
并且随着思绪安逸的飞行会发生倾斜，导致距离墙壁的距离发生明显变化，在极端的情况下，
扫描平面会与屋顶或地面相交。激光测距重且耗电大，会避免应用到小四旋翼的下一代。
视觉传感器的最大特点是小巧轻便低功耗，会随着四旋翼的缩小变得越来越重要。视觉可以
支持四旋翼的基本导航能力例如测程、姿态估计、建立地图、地物识别和冲突检出。已经有
很长的时间把视觉应用到空中机器人系统在室内或室外环境，著名的游戏装备AR.Drone利用
视觉增强姿态和测程【20】。视觉可以用来识别物体，基于颜色、质地、形状，或者用来
防撞措施。
视觉也有弊端。一，视觉计算复杂导致低采样率。由于板载计算能力的限制（SWAP消耗），
大多数报告系统把图像通过无线连接传给地面站，这样将增加系统的灵活性，控制延迟和
对干扰和信号丢失的敏感性。然而，处理器速度持续改善，我们仍然可以使用视觉和类似昆虫
飞行控制技术，在传感和神经能力有限的情况下，完成复杂任务【21】。二，在旋转和平移
运动间有模棱两可的分界，尤其在狭窄的地方使用视角相机。三，欠驱动四旋翼利用横滚
或偏航自由度来指明在期望直线运动方向上的推力向量。对于一个安装在机架上的摄像头
（指的是不能活动），将会对姿态控制运动在图像运动中引发一个大的视差运动。在传感器
捕获到图像时很有必要及时消除视差运动的影响。生物系统也面临同样的问题，有趣的是，
哺乳动物和昆虫进化出同样的解决策略：陀螺仪传感器（耳内前庭传感器）【22】。最后，
还存在一个关于使用单目摄像机恢复运动规模的问题。双目摄像机是可以的，但是由于
四旋翼尺寸变得更小会有底线限制。
Control
实现追踪平滑路径SE（3），控制的问题受很多方面的影响。一，系统欠驱动：四个系统
输入U，但是SE(3)是6维。二，前文建立的气动模型是近似的。最后，输入理想化。实际中，
电机控制要克服阻力矩产生期望速度、输入力T（omiga）和力矩（tao）。电机的变化和
相互作用，伴随阻力作用在螺旋推进器上，模型十分难建立，尽管，一阶线性模型十分近似。
多层控制的方法通用在四旋翼。最低层，最高带宽用于电机转速控制。下一层，控制飞行器
姿态，最高层用于沿轨道的位置控制。多层模型形成嵌套反馈环，见图表5。
Controlling the Motors
转子速度驱动动态模型见（8）式， 电机速度的高质量控制对飞行器的全面控制是奠基性的；
推力T（omiga）的高带宽控制，记为u1,转力矩（taox,y,z）记为u2，形成高质量的姿态和位置
控制。多数四旋翼装备无刷直流电机，他们用反电动势进行转子换相和高频PWM控制
电机电压。最简单的系统通常直接电压控制电机，因为稳态电机速度与电压成比例；然而，
由电机动力学知动态响应是二阶。通过混合电机层单输入和单输出控制来改善性能，有（12）
式，其中V(i)是外加电机电压，w*是期望速度，真是电机速度wi可被测量通过嵌在速度控制器
的电子换相。这将会解决一个常见问题--在正常飞行时，电池电压减少时，给定的PWM信号
所对应的速度会降低。气动力学阻力引起的负荷扭矩会产生循迹误差，这一误差可通过大比例
增益（k）或/和反馈部分来实现最小化。阻力矩的一个好处是形成高阻尼系统，这可以避免
一次微分调节。前向反馈部分V(ffw*)补偿稳态PWM关联一个给定的速度值通过混合静态推力
和可能包含的电池电压来形成一个最好的可得到的模型。
电机控制器的良好表现受限于电池的现状。这将是小型机器最重要的一个受限因素。过激的
调整和额外的策略艘将会导致电压总线严重降压，减小每一个电机的推力，极端情况下，引起
局部板载电子器件断电。鉴于这一因素，我们可以引入饱和，尽管这会在过激策略里不符合
线性电机/转子响应。
Attitude Control
我们首先考虑设计一个SO(3)里的指数汇集控制器。给定一个机身期望姿态R*，我们想先
一步设计旋转误差测量。我们选择如下测量（24）式，会产生一个反对称矩阵表示旋转轴，
需要从R到R*并且它的量级等于旋转角正弦值。
为了驱动线性控制器，我们线性化名义上悬停位置的动力学，这个位置上roll和pitch角接近
零，并且角加速度接近零。如果我们记R=(A)R(B)为yaw旋转(A)R(E)和(E)R(B)产物，R是
roll 和pitch 的一部分，我们线性化旋转（pusai,fai,seita）=(pusai0,0,0),下式，还有（25）式，
（25）式契合误差向量eR，同样存在与机架中。如果期望角加速度向量为0，我们可以计算
比例和倒数误差来得到pd控制律，见（26）式。其中kR和k(omiga)是正定矩阵增益。这个
控制器保证稳定在悬停点附近。为了得到较大偏离悬停位置集合，有必要回到（24）式取消
线性化。这要求我们直接计算SO(3)中误差。通过修正非线性惯性项和包含正确的误差项，
我们得到（27）式u2。这个控制器保证近乎所有旋转呈指数稳定【23】。从实用角度看，
忽略控制器的后三项来实现满意的性能是可行的，但是误差项的正确计算是重要的。
Trajectory Control
接下来我们转移到沿指定路径的控制。以前，我们总是优先考虑线性控制器，通过线性化运动
学关于kexi=kexi*,sita=fai=0,pusai=pusai*,kexi=0,fai(.)=seita(.)=pusai(.)=0，u1=mg,u2=0
作为名义上的给定输入。线性化（1a），得到（28）式。为了指数驱动所有误差的三大部分，
我们让加速度向量kexi(com)满足下式。从（28）式，我们可以得到（29）式，保证趋向0。
类似的，另外两项，我们选择sita*和fai*指数收敛，有（30a）（30b），上述方程在（28）式
中用derta sita替换sita*，derta fai替换fai*。最后，（pusai*,fai*,seita*）是前部分讨论的姿态
控制器设置点。因此，如图表5，控制的问题通过减弱位置控制和姿态控制子问题得以解决，
并且位置控制环提供了姿态控制器的姿态设定点。
位置控制器也可以是非线性的。这是通过投影位置误差到b3轴以及输入u1来实现的。u1取消了
重力作用和提供合适的比例微分反馈，见（31）式。既然投影过程是关于roll和pittch非线性
操作，所以是非线性控制器。在【23】中，显示两个非线性控制器（27）（31）引起指数稳定
和允许路径跟随在SE(3)。
Trajectory Planning
四旋翼是欠驱动的，这很难规划路径在一个12维的状态矢量空间（6自由度位置和速度）。然而，
如果我们认为四旋翼动力学是微分平滑【25】，那么问题就简化了。鉴于此，我们仅考虑输出位置
kexi和yaw角pusai。我们可以记所有的状态矢量和输入为输出（kexi,fai）和他衍生物的函数。
kexi衍生物产生速度v和加速度v(.)。从图表3可知e1，和机身单位向量可用pusai和v(.)表示，
b1,b2,b3，其中b3*e1不等于0。这样定义了转移矩阵（A）R（B）是关于v(.)和pusai方程。
同样，我们记减速度和四输入是关于位置、速度、加速度、jerk（gama）、snap、
或jerk(sita)的方程。可以从这些方程中看出在两个18*1向量间存在一个微分同胚。
微分平滑特性使得设计一个符合欠驱动系统的动力学成为可能。空间里任何平滑四次微分轨迹，
（kexi,pusai）,符合一个可行的轨迹---轨迹符合运动方程。状态和输入的所有不相等约束可以
被表示为平滑输出和他们的衍生物的方程。这一映射到平滑输出空间可以用来产生轨迹，所
产生的轨迹是不同平滑输入和他们衍生物加权组合形成的最小化成本函数，见（32）式。
在【24】中，最小单元轨迹是最小成本函数，来自卡环和航偏角加速度以及L()。
在平滑空间中，匹配参数化轨迹和偏差方程，以及，考虑线性不等式，来建立状态和输入模型，
把这一优化转换到约束多目标规化是可行的，同时这也解决了实时规划。
最后，见（11）式，融合这种控制和姿态控制器以接近0速度来飞越垂直窗户或降落在斜杆是
可行的。轨迹控制器用在机器人上来逐渐增大动量，而姿态控制器重新定位当产生的动量衰减。
Vision-Based Perception and Control
有两种方法解决基于视觉的飞行器控制问题。一，有经典的SLAM鲁棒控制技术，尽管有环境
和状态估计是固定3D的说明。进来有很多研究者专研于此，我们就不再尝试深入谈下去，
也就是说，一个更好的环境估计和定位算法得被发现，以上所讨论的控制技术可以应用。
二，基于传感器的直接控制，最常见的案例使用方法，基于图像的伺服控制器【27】-【29】。
图像上一个点的运动，是相机运动和点的协调（u,v）,方程见式（33）,Z是图像深度，v是
相机空间速度，J(.)是视觉雅可比或相互作用矩阵。J可由透视相机得到【30】，（u,v）是
像素匹配；或一个球形相机【31】中（u,v）是经纬度角。
飞行器的横滚俯仰运动由姿态子系统控制，来保持位置或空间循迹，这将会引起图像运动。
我们划分方程如（34）式，其中最右部分描述因外因诱发的横滚和俯仰带来的图像运动。
重新整理（34），有（35）（36），（u,v）表示图像点，基于wx,wy理解去除横滚和俯仰
运动的图像点，这些点可由陀螺仪得到。现在考虑图像上得点（u,v）和期望位置（u*,v*）。
这一期望位置点来自现场照，当飞行器在期望能够姿态时，我们希望返回的。因此，期望
图像运动是（u*,v*）,其中符号表示图像平面和球面的不同。N个点，我们可写为（37）式。
如果N>2且B矩阵非奇异，我们可已用平移和航偏速度驱动飞行器到一个特征点包含（u*,v*）
的姿势。这是一个应用在欠驱动飞行器上的基于图像视觉伺服的例子，这项技术可以应用到
宽领域的相似问题，例如保持站，路径跟随，避障和着陆。
Conclusions
这篇文章，我们提供关于多旋翼飞行器建模、估计、控制的教程，着重关注的是四旋翼。
动力学模型包括SE（3）中飞行器的刚体运动、悬停时的大气动力学、旋翼挥舞特别重要的
前进运动。基于加速度计，陀螺仪，磁力计在姿态和平移速度处讨论，GPS，运动捕获系统，
相机运动估计方法来进行姿态估计。分层控制理论的讨论，从单转子到姿态控制、路径跟随、
基于图像的视觉控制。高机动性小尺度飞行器的未来可能性由传感器尺度决定。
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