方差分析是试验统计学的一个重要思想。其基本思想是通过考察均值的变异来分析变量间的依赖程度。需要说明的是，方差分析关注的是均值的变异，而非方差的变异情况。
回归分析方法，特别是线性回归分析方法可能是最受欢迎的统计工具之一。在研究中有多种回归形式，如线性、非线性、单变量、多变量、参数或是非参数回归等等。
方差分析与回归分析的相似之处就是，这两种分析方法都可被用于分析变量对其他变量的依赖性。二者的区别就在于，分析的角度是不同的。
9.1方差分析
方差分析是20世纪20年代发展起来的一种统计方法，目前已被广泛应用于心理学、医学以及人文科学等学科研究中。本节将介绍单因素方差分析与双因素方差分析的基本原理及其在实际问题中的应用。
9.1.1基本概念及相关假设
（一）基本概念
定义1 检验多个总体均值是否有显著差异的统计方法，称为方差分析（Analysis of variance，常被简记为ANOVA）。
从形式上，方差分析是通过比较多个总体的均值是否有显著差异，来说明某分类变量对因变量的影响情况，例如，是否产生了影响，影响强度如何等等。为了更好地说明问题，这里以一个实际问题来进行说明。
例1 为提高大学数学的教学效果，研究人员提出了三种不同的教学方案，现欲证明这三种不同的教学方案对教学效果的改进是否有显著差异。这里使用的方法是，从同一年级的学生中，随机抽取接受不同教学方法的学生若干名，通过比较学期期末考试成绩，来考察三种教学方法效果的差异。具体的成绩数据如表9-1：
（详见附件）
一般而言，学生的成绩越高，说明相应的教学方法的效果越好。我们希望了解这三种教学方法的效果是否有显著差异？
要分析这三种教学方法的效果是否有显著差异，实际上也就是要判断“教学方法”对“学生成绩”是否有显著影响，做出这种判断最终被归结为检验接受这三种教学方法的学生的平均成绩是否有较大差异。如果他们的平均成绩没有较大差异，就意味着“教学方法”对学生成绩是没有影响的，也就是这三种教学方法的效果没有显著差异；如果平均成绩有较大差异，则意味着“教学方法”对学生成绩是有影响的，这三种教学方法的效果应该有显著差异。
为了便于表述，可以引入以下定义：
定义2 在方差分析中，被检验的对象称为因素或是因子（Factor）。
定义3 因素所处的不同状态称为水平(Level)。
定义4 因素在每个水平下对应的调查结果可以称为一个“组”（Group）。
在例1中，“教学方法”是被检验的对象，我们把它称为“因素”或是“因子”；方法1、方法2与方法3是“教学方法”这一因素的具体表现，可以称之为“水平”；每一种教学方法对应的学生成绩是一组观测值。由于这里只涉及“教学方法”这一个因素，因此对此问题的分析也可以称为单因素3水平的分析。因素的每一个水平可以看作为一个总体，例如方法1、方法2、方法3可以对应三个总体，相应的观测值可以看作是从这三个总体中抽取的样本数据。
（二）基本假设
方差分析中有三个基本假设：
（1）每个总体均服从正态分布；
（2）各总体的方差均相同；
（3）所有的观测值是独立的。
在上述假设成立的前提下，要分析自变量对因变量是否有影响，实际上也就是要检验自变量的各个水平（总体）的均值是否相等。例如，在例1中，判断教学方法对学生成绩是否有显著影响，实际上就是检验具有相等方差的三个正态总体的均值（平均成绩）是否相等。
尽管总体的均值是未知的，但是，正如前面所学习到的，我们可以用样本均值代替总体均值进行检验分析。如果这三个总体的均值是相等的，那么可以预期对应的三个样本均值也会很接近。事实上，三个样本均值越接近，推断这三个总体均值相等的证据也就越充分；反之，推断总体均值不相等的证据越充分。换句话说，这是一个假设检验过程。
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