在串行传送（磁盘、通讯）中，广泛采用循环冗余校验码（CRC）。CRC也是给信息码加上几位校验码，以增加整个编码系统的码距和查错纠错能力。
CRC的理论很复杂，一般书上只介绍已有生成多项式后计算校验码的方法。检错能力与生成多项式有关，只能根据书上的结论死记。 循 环冗余校验码（CRC）的基本原理是：在K位信息码后再拼接R位的校验码，整个编码长度为N位，因此，这种编码又叫（N，K）码。对于一个给定的 （N，K）码，可以证明存在一个最高次幂为N-K=R的多项式G(x)。根据G(x)可以生成K位信息的校验码，而G(x)叫做这个CRC码的生成多项 式。 校验码的具体生成过程为：假设发送信息用信息多项式C(X)表示，将C(x)左移R位，则可表示成C(x)*2R，这样C(x)的右边就会空出R位，这就是校验码的位置。通过C(x)*2R除以生成多项式G(x)得到的余数就是校验码。 几个基本概念 1、多项式与二进制数码 多项式和二进制数有直接对应关系：x的最高幂次对应二进制数的最高位，以下各位对应多项式的各幂次，有此幂次项对应1，无此幂次项对应0。可以看出：x的最高幂次为R，转换成对应的二进制数有R+1位。 多项式包括生成多项式G(x)和信息多项式C(x)。 如生成多项式为G(x)=x4+x3+x+1， 可转换为二进制数码11011。 而发送信息位 1111，可转换为数据多项式为C(x)=x3+x2+x+1。 2、生成多项式 是接受方和发送方的一个约定，也就是一个二进制数，在整个传输过程中，这个数始终保持不变。 在发送方,利用生成多项式对信息多项式做模2除生成校验码。在接受方利用生成多项式对收到的编码多项式做模2除检测和确定错误位置。 应满足以下条件： a、生成多项式的最高位和最低位必须为1。 b、当被传送信息（CRC码）任何一位发生错误时，被生成多项式做模2除后应该使余数不为0。 c、不同位发生错误时，应该使余数不同。 d、对余数继续做模2除，应使余数循环。 将这些要求反映为数学关系是比较复杂的。但可以从有关资料查到常用的对应于不同码制的生成多项式如图9所示：
N | K | 码距d | G(x)多项式 | G(x) | 7 | 4 | 3 | | 1011 | 7 | 4 | 3 | | 1101 | 7 | 3 | 4 | | 11101 | 7 | 3 | 4 | | 10111 | 15 | 11 | 3 | | 10011 | 15 | 7 | 5 | | 111010001 | 31 | 26 | 3 | | 100101 | 31 | 21 | 5 | | | 63 | 57 | 3 | | | 63 | 51 | 5 | | | 1041 | 1024 | | | |
图9 常用的生成多项式
3、模2除（按位除） 模2除做法与算术除法类似，但每一位除（减）的结果不影响其它位，即不向上一位借位。所以实际上就是异或。然后再移位移位做下一位的模2减。步骤如下： a、用除数对被除数最高几位做模2减，没有借位。 b、除数右移一位，若余数最高位为1，商为1，并对余数做模2减。若余数最高位为0，商为0，除数继续右移一位。 c、一直做到余数的位数小于除数时，该余数就是最终余数。 【例】1111000除以1101： 1011———商 ———— 1111000-----被除数 1101———— 除数 ———— 010000 1101 ———— 01010 1101 ———— 111————余数 CRC码的生成步骤 1、将x的最高幂次为R的生成多项式G(x)转换成对应的R+1位二进制数。 2、将信息码左移R位，相当与对应的信息多项式C(x)*2R 3、用生成多项式（二进制数）对信息码做模2除，得到R位的余数。 4、将余数拼到信息码左移后空出的位置，得到完整的CRC码。 【例】假设使用的生成多项式是G(x)=x3+x+1。4位的原始报文为1010，求编码后的报文。 解： 1、将生成多项式G(x)=x3+x+1转换成对应的二进制除数1011。 2、此题生成多项式有4位（R+1），要把原始报文C(x)左移3（R）位变成1010000 3、用生成多项式对应的二进制数对左移4位后的原始报文进行模2除： 1001-------商 ------------------------ 1010000 1011----------除数 ------------ 1000 1011 ------------ 011-------余数（校验位） 5、编码后的报文（CRC码）： 1010000 + 011 ------------------ 1010011 CRC的和纠错 在 接收端收到了CRC码后用生成多项式为G(x)去做模2除，若得到余数为0,则码字无误。若如果有一位出错，则余数不为0，而且不同位出错，其余数也不 同。可以证明，余数与出错位的对应关系只与码制及生成多项式有关，而与待测碼字（信息位）无关。图10给出了G(x)＝1011，C(x)＝1010的出 错模式，改变C(x)（码字），只会改变表中码字内容，不改变余数与出错位的对应关系。
| | 余数 | 出错位 | 码位 | | 正确 | | 000 | 无 | 错 误
| | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
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图10 （7，4）CRC码的出错模式（G(x)＝1011） 如 果循环码有一位出错，用G(x)作模2除将得到一个不为0的余数。如果对余数补0继续除下去，我们将发现一个有趣的结果；各次余数将按图10顺序循环。例 如第一位出错，余数将为001，补0后再除（补0后若最高位为1，则用除数做模2减取余；若最高位为0，则其最低3位就是余数），得到第二次余数为 010。以后继续补0作模2除，依次得到余数为100，0ll…，反复循环，这就是“循环码”名称的由来。这是一个有价值的特点。如果我们在求出余数不为 0后，一边对余数补0继续做模2除，同时让被检测的校验码字循环左移。图10说明，当出现余数(101)时，出错位也移到A7位置。可通过异或门将它纠正后在下一次移位时送回A1。这样我们就不必像海明校验那样用译码电路对每一位提供纠正条件。当位数增多时，循环码校验能有效地降低硬件代价，这是它得以广泛应用的主要原因。 【例】 对图10的CRC码（G(x)＝1011，C(x)＝1010），若接收端收到的码字为1010111，用G(x)＝1011做模2除得到一个不为0的余 数100，说明传输有错。将此余数继续补0用G(x)＝1011作模2除，同时让码字循环左移1010111。做了4次后，得到余数为101，这时码字也 循环左移4位，变成1111010。说明出错位已移到最高位A7，将最高位1取反后变成0111010。再将它循环左移3位，补足7次，出错位回到A3位，就成为一个正确的码字1010011。
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