多阶常微分方程中的求解积分技巧一例

ID:104126 · 发表于 2016-1-24 02:25

题目如下：d2y/dx^2=1/(1+x^2)
本题常微分方程为二阶，用导数表示法表示：d2y/dx^2=y''
1.首先求解1阶的解：
y'=1/(1+x^2)
换算成微分形式后：dy/dx=1/(1+2^x)
dy=1/(1+2^x)
两边积分后：∫dy=∫1/(1+x^2)dx，根据积分公式可得：
y=arctanx+K1
2.求解2阶的解：
y'=arctanx+K1
换算成微分形式后：dy/dx=arctanx+K1
dy=arctanxdx+K1dx
两边积分后：∫dy=∫arctanxdx+∫K1dx（注意！因arctanx在积分公式中已求解到最后一步，所以此处不存在对arctanx的积分公式，需要利用分部积分法求解！）
∫arctanx dx可看成∫1*arctanxdx
设：g(x)=1，则G(x)=x
x*arctanx-∫x darctanx，（此处存在arctanx的导数）
x*arctanx-∫x*1/(1+x^2)dx
利用换元法设1+x^2=t，则xdx=1/2dt，带入上述过程中：
x*arctanx-∫1/t*1/2dt
x*arctanx-1/2lnt，将t=1+x^2带回原方程：
∴y=x*arctanx-1/2ln(1+x^2)+K1x+K2 □

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