在VHDL中实现高精度快速除法

引言
在数字计算中，加、减、乘、除运算经常使用。在FPGA中，有加、减、乘、除的算法指令，但除法中除数必须为2的幂，因此无法实现除数为任意数的除法;而二进制除法算法中包含了减法、乘法、数的分解与合成、试商的判断等多种操作过程。因此，除法运算过程非常复杂，用VHDL编写除法运算很难实现。因此，作者根据二进制乘法的原理，采用被除数与除数的倒数相乘的方法来实现二进制的除法。

1 十六位二进制乘法
二进制乘法是通过逐项移位相加原理来实现的。从被乘数的最低位开始，若为1，则乘数左移后送入寄存器进行累加;若为0，左移后以全零相加。如此往复，直至被乘数的最高位。乘法运算结束后，此时累加器中的输出值即为最后的积。图1所示为乘法原理框图。

 
图1 乘法原理框图
根据上述原理，设计VHDL算法，实现十六位二进制乘法。乘法在一个时钟周期内完成。

LIBRARY IEEE;
USE IEEE.STD_LOGIC_1164.ALL;
USE IEEE.STD_LOGIC_UNSIGNED.ALL;
ENTITY MULTIPLY IS
PORT(CLK:IN STD_LOGIC;
A:IN STD_LOGIC_VECTOR(15 DOWNTO 0);
//乘数
B:IN STD_LOGIC_VECTOR(15 DOWNTO 0);
//被乘数
START:IN STD_LOGIC;
CH：OUT STD_LOGIC_VECTOR(15 DOWNTO 0);
CL:OUT STD_LOGIC_VECTOR(15 DOWNTO O));
END MULTIPLY;
ARCHITECTURE BEHAV OF MULTIPLY IS
SIGNAL L8:STD_LOGIC_VECTOR(15 DOWNTO O);
BEGIN
PROCESS(CLK)
VARIABLE ACC:STD_LOGIC_VECTOR(31 DOWNTO 0);
VARIABLE N:STD_LOGIC_VECTOR(7 DOWNTO 0);
VARIABLE Q:STD_LOGIC_VECTOR(31 DOWNTO O);
VARIABLE MA:STD_LOGIC_VECTOR(31 DOWNTO O);
BEGIN
IF START='1'THEN
IF CLK'EVENT AND CLK='1'THEN
MA(31 DOWNTO 0):="0000000000000000"&A(15
DOWNTO 0);
ACC:="00000000000000000000000000000000";
FOR I IN 0 TO 15 LOOP
FOR JIN 0 TO 31 LOOP
Q(J):=B(I) AND MA(J); //B(I)与MA相"与"
END LOOP;
ACC:=ACC+Q; //累加
MA(31 DOWNTO 0):=MA(30 DOWNTO 0)&MA(31);
//左移
ENDLOOP;
CH<=ACC(31 downto 16); //乘积的高16位
CL<=ACC(15 downto 0); //乘积的低16位
ENDIF;
ENDIF;
END PROCESS;
END BEHAV;

综合后生成的乘法器宏如图2所示。

 
图2二进制乘法器

2 二进制除法的改进
由于在FPGA中实现二进制除法的算法十分复杂，我们在实现二进制除法时，采取被除数与除数的倒数相乘的方法。因此，在给定除数的同时必须计算出除数的倒数，由于除数的倒数是小数形式(除数为1时，倒数为1)，因此我们将此倒数的小数部分的16位和整数部分的最后1位(主要考虑除数为1时,倒数的整数部分为1)记录成17位二进制。这样可以与被除数进行二进制乘法运算。乘积的后16位为商的小数部分。前面为商的整数部分。
在FPGA中，我们将除数作为寄存器的地址，其倒数的小数部分作为寄存器的内容。这样，再计算除数的倒数，就相当于一次寄存器的寻址。图3为改进的除法原理框图。

 
图3改进的除法原理框图
用VHDL设计的查表程序如下(它可在一个时钟周期内将除数B转换成1/B，输出结果M的低16位为倒数的小数部分，M的第17位为倒数的整数部分)：

LIBRARY IEEE;
USE IEEE.STD_LOGIC_1164.ALL;
ENTITY TABLE IS
PORT(
N:IN STD_LOGIC_VECTOR (7 downto 0);
CLK:IN STD_LOGIC;
READ:IN STD_LOGIC;
M:out STD_LOGIC_VECTOR(16 downto 0)//倒数的
//整数M(16)和小数部分M(15:0)
);
END TABLE;
ARCHITECTURE TABLE_ARCH OF TABLE IS
SIGNAL L8:STD_LOGIC_VECTOR(16 DOWNTO 0);
BEGIN
PROCESS(CLK,READ)
IF READ='l'THEN
IF CLK'EVENT AND CLK='l'THEN
WHEN"00000001"=>L8<="10000000000000000";
WHEN"00000010"=>L8<="01000000000000000";
WHEN"00000011"=>L8<="00101010101010101";
WHEN"00000100"=>L8<="00100000000000000";
WHEN"00000101"=>L8<="00011001100110011";
WHEN"00000110"=>L8<="00010101010101010";
WHEN"00000111"=>L8<="00010010010010010";
WHEN"11111001"=>L8<="00000000100000111";
WHEN"11111010"=>L8<="00000000100000110";
WHEN"11111011"=>L8<="00000000100000101";
WHEN"11111100"=>L8<="00000000100000100";
WHEN"11111101"=>L8<="00000000100000011";
WHEN"11111110"=>L8<="00000000100000010";
WHEN"11111111"=>L8<="00000000100000001";
WHEN OTHERS=>L8<="ZZZZZZZZZZZZZZZZZ";
//以上为1-255的倒数
END CASE;
M<=L8;
ENDIF;
ENDIF;
END PROCESS;
END TABLE_ARCH;

综合后生成倒数转换寄存器的宏如图4所示。

 
图4除数转化其倒数寄存器
用原理图将上面所生成的宏连接成完整的除法器如图5所示。其中A[15:0]为被除数，B[7:0]为除数，c[31:16]为商的整数部分，C[15:0]为商的小数部分。

 
图5 完整的二进制除法器
我们选择几对被除数和除数进行了仿真，其结果如图6和表1所示。

 
表1部分仿真结果
 

结语
应用上述的二进制乘法和二进制除法，我们解决了工程中所需的乘法和除法运算问题。其中除法运算的商可以精确到小数点后面16位，达到了工程中对运算精度的要求。二进制乘法可以扩展到任意位数，二进制除法中被除数可以为任意位数。由于本方法中除数转换为其倒数的过程是由作者手工输入，并作为寄存器的内容进行存储的， 因此只考虑了除数为8位的情况，当然，也可以完成更高位的寄存器寻址，但工作量很大。

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